Gerardo Hernández
Dueñas 
National Autonomous University of Mexico- UNAM
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Semestre 2020-1
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Posgrado en Matemáticas - UNAM
Horario de clase:
Martes y Jueves: 11:00 am - 1:15 pm
Lugar: Aula de Seminarios 4 - Imate-Juriquilla
Horario de oficina:
Por solicitud
Cubículo:
Cubículo 2 del Imate-Juriquilla
Libro de texto principal:
• EVANS, LAWRENCE C,
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS,GRADUATE STUDIES IN MATHEMATICS VOL. 19
, AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 1998.
• WALTER A. STRAUSS, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, AN INTRODUCTION, SECOND EDITION, JOHN WILEY \& SONS, LTD, 2008
• DI BENEDETTO, EMMANUELE, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIRKHÄUSER, BERLIN, 1995.
• TAYLOR, MICHAEL, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. BASIC THEORY, SPRINGER- VERLAG, 1996.
Exámenes:
Examen 1: Sept 12, 2018. 2:00 - 5:00 PM. Salón 2 LIIGH. 25% de la calificación final
Tareas :
Temas :
Temas:
Unidad I: Introducción
1.1 Deducción de ecuaciones en diferentes contextos: físicos, matemáticos, biológicos, etc. Ejemplos.
1.2 Clasificación de ecuaciones.
1.3 Ecuaciones fundamentales de la física matemáticas como modelos
básicos de ecua- ciones lineales de segundo orden: ecuaciones de
Laplace, ecuación de calor y ecuación de ondas.
1.4 Problemas bien y mal planteados. Problemas con valores iniciales y a la frontera. El teorema de Cauchy-Kowaleski.
1.5 Nociones sobre diferentes conceptos de solución: soluciones
clásicas, soluciones débiles. Dificultades típicas que se encuentran al
resolver ecuaciones diferenciales par- ciales.
Unidad II: Ecuaciones de primer orden
2.1 Resolución por características: caso lineal.
2.2 Resolución por características: ejemplos no lineales.
Unidad III: Fórmulas explícitas de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden (métodos exactos)
3.1 Ecuación de Laplace. Fórmula de Poisson. Propiedades de las
funciones armónicas: principio del máximo, desigualdad de Harnack,
métodos de energía. Problemas de contorno asociados. Ejemplos no
lineales.
3.2 Ecuación de calor: núcleo de calor. Problemas con valores
iniciales. Ejemplos de problema mal planteado (Cauchy retrógrado).
Métodos de energía. Principio del máximo. Ejemplos no lineales.
3.3 Ecuación de onda: fórmula de D’Alembert. Problemas con valores
iniciales. Métodos de energía. Función de Riemann. Propagación de
singularidades. Sistemas hiper-bólicos. Ejemplos no lineales.
Unidad IV: Representación de soluciones
4.1 Separación de variables, soluciones autosimilares, series de potencias y series de Fourier, ondas planas, ondas viajeras.
4.2 Transformadas integrales y otras transformaciones.
4.3 Soluciones fundamentales, funciones de Green. Noción de solución débil. Problema de autovalores.
Unidad V: Aproximación de soluciones
5.1 Método de perturbaciones.
5.2 Métodos asintóticos.
5.3 Métodos numéricos.
Unidad VI: Métodos indirectos
6.1 Métodos variacionales.
6.2 Métodos topológicos.
6.3 Sub y supersoluciones. Cotas a priori.
6.4 Función implícita.
6.5 Bifurcación.
Unidad VII: Comportamiento (métodos cualitativos)
7.1 Decaimiento.
7.2 Simetrías.
7.3 Formación de singularidades.
Unidad VIII: Temas especiales
8.1 Dispersión inversa, solitones y sistemas integrables
Unidad IX: Temas especiales
9.1 Ecuaciones de reacción-difusión, ondas viajeras, frentes, pulsos, formación de pa- trones
Unidad X: Temas especiales
10.1 Sistemas de leyes de conservación.
Unidad XI: Temas especiales
11.1 Ecuaciones de tipo mixto.
Unidad XII: Temas especiales
12.1 Teoría del control.
Unidad XIII: Temas especiales
13.1 Aspectos probabilísticos: homogeneización.