Estructuras combinatorias coloreadas: homomorfismos y patrones de color

A partir del problema de los cuatro colores, hace más de 150 años, surge la teoría de coloraciones en gráficas. Trata del problema fundamental de partir un conjunto en clases, de acuerdo con ciertas reglas. Con este modesto comienzo, la teoría se ha convertido en una parte central de las matemáticas discretas, con muchas aplicaciones y generalizaciones contemporáneas. En esta charla, nuestro particular interés se centra en dos áreas de investigación muy activas que han surgido de problemas de coloraciones en gráficas: la teoría de homomorfismos y la teoría de Ramsey.

La teoría de homomorfismos estudia la estructura de ciertas clases combinatorias, y sus objetos, bajo morfismos naturales. El número cromático de una gráfica simple se puede entender, en este contexto, como el orden de la gráfica completa más pequeña que sea su imagen bajo un homomorfismo. De esta manera, los homomorfismos en gráficas han sido extensamente estudiados como generalización de coloraciones propias.

La teoría de Ramsey estudia la existencia de patrones particulares de color en estructuras coloreadas. A partir de los teoremas de Ramsey, Hilbert, Schur y van der Waerden, la teoría se ha desarrollado como una hermosa y profunda rama de la combinatoria, en la que una gran variedad de técnicas, provenientes de muy diversas áreas de las matemáticas, se utilizan.

En esta plática presentaré las modestas aportaciones que realicé en mi trabajo de tesis doctoral, concerniente a dichas teorías.