Resolución de singularidades, uniformización local y foliaciones

Dado un espacio ambiente en cierta categoría, una condición de regularidad es una propiedad que pueden o no satisfacer sus puntos. Dicha propiedad ha de verificar ciertas condiciones, como por ejemplo que el lugar de los puntos regulares sea un abierto denso. En este contexto, la resolución de singularidades trata de obtener un "modelo" en el cual todos los puntos sean regulares para dicha propiedad. El caso más conocido es el de variedades algebraicas con la condición de regularidad usual (no ser un punto singular). Este problema ha sido resuelto en el caso de un cuerpo base de característica 0 (Hironaka, 1964), aunque ha sido objeto de estudio desde mucho tiempo atrás. Cabe destacar que el caso de curvas fue resuelto por Newton.

En esta plática haremos una breve introducción a esta teoría y presentaremos la técnica desarrollada por O. Zariski para atacar el problema de resolución de singularidades en variedades de dimensión arbitraria, la uniformización local. Mostraremos algunos ejemplos en los que esta técnica basada en la teoría de valoraciones ha dado resultados satisfactorios.

En una segunda parte introduciremos el concepto de regularidad asociado a una foliación y presentaremos los resultados hasta ahora conocidos.