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El axioma de continuidad en la cohesión axiomática

Matías Menni (CONICET y Universidad Nacional de la Plata) - martes 20 de noviembre, 12 horas
Ponente: Matías Menni (CONICET y Universidad Nacional de la Plata)
Cuándo 20/11/2012
de 12:00 a 13:00
Dónde Salón "Graciela Salicrup"
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Resumen:

Para estudiar una categoría E de objetos "geométricos" la  Cohesión Axiomática [1] propone considerar una subcategoría S de objetos `discretos' tal que la inclusión S-->E tenga adjuntos a derecha e izquierda, digamos, R y L:E --> S. Algunos de los axiomas permiten intuir que RX es el conjunto de `puntos' de X, mientras que LX es el conjunto de `componentes conexas' o `pedazos' de X. Por ejemplo, si fijamos a S como la categoría de conjuntos, podemos tomar a E como el topos de Zariski asociado a un cuerpo algebraicamente cerrado, o como el topos de conjuntos simpliciales.

En [1] se destacan dos axiomas que pueden considerarse en una situación como la de arriba:
* Suficiente cohesión: existen suficientes objetos contraibles.
* Continuidad: el functor L preserva potencias.

Se observa en [1] que el ejemplo de conjuntos simpliciales no satisface Continuidad. Además, Lawvere propuso que el axioma de Continuidad no debería valer en ejemplos `combinatóricos'.

El propósito de esta charla es repasar la formulación de la Cohesión Axiomática y demostrar una versión precisa de la conjetura de Lawvere: veremos que si E es un topos de pre-haces entonces Continuidad y Suficiente-Cohesión son incompatibles. Además, si el tiempo lo permite, presentaremos un par de ejemplos con topos de Grothendieck para los cuales valen los dos axiomas.

[1] Lawvere, F. W. Axiomatic Cohesion, Theory and Applications of Categories 19, 2007.

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