Álgebras de conglomerado de tipo finito bajo mutación

Resumen:

Las álgebras de conglomerado fueron introducidas alrededor de 2001 por Fomin y Zelevinsky para estudiar de forma combinatoria problemas de bases duales canónicas y de positividad total en teoría de representaciones de grupos de Lie. Más tarde Derksen Weyman y Zelevinsky introdujeron carcajes con potencial como una herramienta algebraica muy eficiente para estudiar álgebras de conglomerado y abrir conexiones con muchas otras áreas de matemáticas como representaciones de álgebras, bases genéricas e invariantes de Donaldson-Thomas. Otras conexiones interesantes incluyen aspectos tan diversos como teoría de Teichmüller y olas en agua de baja profundidad.

Las álgebras de conglomerado de tipo finito bajo mutación son fáciles de definir, pero su clasficación fue un logro mayor por Felikson, Shapiro y Tumarkin. Resulta que, excepto por 11 casos excepcionales, están dadas por triangulaciones de superficies, es decir, que tienen que ver con espacios de Teichmüller decorados. En un trabajo conjunto con D. Labardini-Fragoso y J. Schröer demostramos que, salvo pocas excepciones, estas álgebras se caracterizan por el tipo de representación del álgebra Jacobiana asociada a su carcaj con potencial. Además en casi todos los casos resulta que el potencial es único.