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Espacios topológicos irresolubles y familias independientes de conjuntos

Angel Tamariz (Facultad de Ciencias, UNAM)
Ponente: Angel Tamariz (Facultad de Ciencias, UNAM)
Cuándo 13/04/2010
de 12:00 a 13:00
Dónde Salón "Graciela Salicrup"
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Cualquier espacio considerado en esta plática es Hausdorff y no tiene puntos aislados.

Un espacio topológico X es resoluble si contiene dos subconjuntos densos ajenos. Un espacio es irresoluble si no es resoluble (Hewitt, 1943).

Es posible demostrar que la clase de espacios resolubles contiene clases amplias de espacios topológicos. En particular cualquier espacio localmente compacto y cualquier espacio metrizable es resoluble.

Mostrar espacios irresolubles es más difícil. Hewitt construye este tipo de espacios usando el Axioma de Elección. Posteriormente, otros autores construyen espacios irresolubles usando procesos recursivos infinitos. Otra técnica para construir espacios irresolubles consiste en utilizar familias independientes de conjuntos:

Una familia A de subconjuntos de un conjunto κ es independiente si para cada dos subcolecciones finitas y ajenas B y C de A se cumple: (∩B∈BB) ∩ (∩C∈C(κ\C)) ≠ ∅.

En esta plática veremos algunos resultados y ejemplos de espacios resolubles e irresolubles y veremos cómo se construyen espacios irresolubles a partir de familias independientes. Se plantearán algunos problemas abiertos.

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