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"Características de Euler parciales en las fibras de una función singular" - Xavier Gómez Mont (CIMAT)

Ponente:
Cuándo 24/02/2009
de 12:00 a 13:00
Dónde Salón "Graciela Salicrup"
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Resumen

Todos sabemos (gracias a Sard) que la fibra genérica de una función diferenciable f real valuada es una variedad de dimensión 1 menos que el ambiente. Aunque se sabe bastante de lo que le pasa a la fibra cuando nos acercamos a un valor singular, se puede decir que en general sigue siendo un misterio.

La imagen topológica que se tiene en mente es que hay varias clases de homología de distintas dimensiones que se están colapsando al 0, unas a la derecha para valores mayores f^{-1}(s) y otras a la izquierda para valores menores. Hay que "entrarle" a la singularidad con cierta homología, se produce una cirugía en la singularidad y sale transformada la fibra con otra homología. Se desea poder decir qué tanta homología necesita uno de entrada y con cuánta homología sale uno después de la "operación". La información la quiere uno dar haciendo "álgebra" utilizando la expansión en serie de Taylor de f. Uno está muy contento si esta álgebra la puede realizar una computadora a través de un algoritmo eficiente usando suma y multiplicación de polinomios. Este camino lo iniciaron Eisenbud, Levine, Khimiashishvili y Arnold por 1960. El resultado se enuncia definiendo una forma bilineal no-degenerada en el álgebra de Jacobi de la función (funciones módulo primeras derivadas parciales) y su signatura r nos dice que la característica de Euler de la fibra de f para valores regulares es 1+r y 1-r.

La teoría de Morse nos da un método de perturbar f_t la función original (Morsificarla se dice) para intercambiar un punto singular aislado complicado de f por varios puntos críticos no degenerados (de Morse se dice) de f_t. El lema de Morse nos garantiza que cerca de cada punto singular no degenerado podemos hacer un cambio de coordenadas para que la función sea cuadrática en una vecindad en estas coordenadas y el número de signos positivos y negativos (su índice) nos dice exactamente qué es lo que está pasando topológicamente al acercarnos a cada valor crítico de la función f_t. Para terminar de entender la función original tenemos que recolectar todos estos pedacitos de f_t.

Si mira uno con cuidado el proceso de morsificar la función con el parámetro real t, se percata uno de que los puntos de Morse se acercan a la singularidad original formando una curva algebraica, y por consiguiente los invariantes de estas curvas de singularidades de f_t nos dan invariantes de la singularidad. Cuando estas curvas son reducibles (es decir, hay más que 1) estos invariantes nos dan información que nos permite estratificar la homología de la fibra f para valores regulares. Este enfoque fue inicializado por Teissier y Le Dung Trang en 1970 con el concepto de curvas polares. El invariante más fundamental son los exponentes de Puisseaux (son los exponentes principales en una expansión en serie de Taylor generalizada). Geométricamente, esto lo que nos dice es que no toda la homología se está colapsando a la misma velocidad.

He generalizado con Giraldo y Mardesic el método de Eisenbud-Arnold et al para obtener formas bilineales en una bandera del álgebra de Jacobi, obteniendo de esta manera varios índices como signaturas de estas formas. Estas banderas queremos interpretarlas como los límites de las banderas en la homología proviniendo de las curvas polares de Teoría de Morse vía el enfoque de Teissier y Le Dung Trang. Las signaturas en el límite contienen la información de las características de Euler (i.e. sumas alternadas de las dimensiones de la homología) tomando en cuenta esta rapidez. El álgebra la tenemos demostrada, la interpretación geométrica está aun en proceso de comprensión.

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