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Existencia de soluciones para problemas elípticos semilineales y cuasilineales

Jorge Cossio (Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín) - Jueves 21 de marzo de 2013, 11:00 hrs.
Ponente:
Cuándo 21/03/2013
de 12:00 a 13:00
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En esta conferencia estudiamos la existencia de múltiples soluciones para el problema elíptico semifinal \[ \left\{\begin{array}{rl} \Delta u + f(u)& = 0 \qquad \hbox{en} \ \ \ \Omega,\\ u & = 0 \qquad \hbox{en} \ \ \partial \Omega, \end{array}\right. \quad (1) \] donde \(\Omega \subset \mathbb{R}^N \), \(N \ge 2\), es un dominio acotado con frontera suave y \(f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) es una función Lipschitz que satisface \(f(0)=0\). Utilizando resultados clásicos de teoría de bifurcación demostramos la existencia de múltiples soluciones para el problema (1) cuando la nolinealidad es asintóticamente lineal y cuando la no linealidad tiene un comportamiento arbitrario para valores grandes del argumento. Los resultados obtenidos nos proporcionan, además, información sobre el signo de las soluciones.

Adicionalmente, estudiamos la existencia de múltiples soluciones para el problema elíptico cuasilineal $$ \left\{\begin{array}{rl} \Delta _pu  + f(u)& = 0 \qquad \hbox{in} \ \ \ \Omega,\\ u & = 0 \qquad \hbox{on} \ \ \partial \Omega, \end{array}\right. \quad (2)$$ donde \(\Delta _p\) denota el \(p\)-Laplaciano, definido por \(\Delta _p u=\) div\((|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\) con \(p>1\), \(\Omega \subset \mathbb{R}^N \) (\(N \ge 2\)) es un dominio acotado con frontera suave, y \(f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) es una función no lineal que satisface \(f(0)=0\). Estudiamos el problema (2) cuando \(1<p<2\),  \(f\) es \((p-1)\)-Lipschitz y la \(p\)-derivada en cero de \(f\) y la \(p\)-derivada en infinito de \(f\) son mayores que el primer valor propio del \(p\)-Laplaciano, es decir,

$$ |f(t) - f(s)| \le [f]_{0,1} |t-s|^{p-1},\ \ \forall s,t\in \mathbb{R}$$

$$f^{'}_{p}(0):= \lim _{t\rightarrow 0} \frac{f(t)}{|t|^{p-2} t} > \lambda_1 (p)\quad \text{y}\quad  f^{'}_{p}(\infty):= \lim _{t\rightarrow \infty} \frac{f(t)}{|t|^{p-2} t} > \lambda_1 (p).$$

\(\star\) Trabajo conjunto, en progreso, con los profesores Sigifredo Herrón y Carlos

Vélez de la Universidad Nacional de Colombia.