Medidas invariantes y aspectos Hamiltonianos en mecánica no-holónoma

En un sistema mecánico, las restricciones en las velocidades, que no pueden obtenerse tomando derivadas de restricciones en las posiciones, se denominan no-holónomas y aparecen frecuentemente en el estudio del rodamiento, por ejemplo en el caso de una esfera que rueda sin resbalar en una mesa.

Los sistemas mecánicos no-holónomos conservan la energía pero no son Hamiltonianos. Esto se debe a que las ecuaciones de movimiento no provienen de un principio variacional. Para obtener un modelo físico razonable, las fuerzas de reacción deben incorporarse en las ecuaciones de acuerdo al principio de Lagrange-D’Alembert. En consecuencia, las técnicas usuales para el estudio de los sistemas mecánicos Hamiltonianos no pueden aplicarse en el caso no-holónomo.

Es posible, sin embargo, obtener una formulación casi-Hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento. En este caso las ecuaciones se escriben en términos de un corchete casi-Poisson que tiene todas las propiedades de un corchete de Poisson pero que, como consecuencia de la no-integrabilidad de las restricciones, no satisface la identidad de Jacobi.

La pérdida de la identidad de Jacobi abre las puertas para nuevos fenómenos que no ocurren en los sistemas Hamiltonianos. Algunas de las preguntas abiertas en el área, que han recibido interés recientemente, incluyen la existencia de volúmenes invariantes, la existencia de equilibrios asintóticos, la versión no-holónoma del teorema de Noether que liga simetrías con leyes de conservación, reducción e integrabilidad.

En esta charla se presentaran resultados recientes [1, 2] en la existencia de medidas invariantes en sistemas no-holónomos y se revisarán algunas de las consecuencias dinámicas.

Referencias

[1] Fedorov Y. N., García-Naranjo L. C. and Marrero J. C., Unimodularity and preservation of volumes in nonholonomic mechanics. arXiv: 1304.1788.

[2] García-Naranjo L. C. and Marrero J. C., Non-existence of an invariant measure for a homo- geneous ellipsoid rolling on the plane. Reg. and Chaot. Dyn. 18, 372–379, (2013).