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El seudoarco: un espacio muy torcido

Ponente: Erick Ivan Rodríguez Castro
Institución: Instituto de Matemáticas
Tipo de Evento: Divulgación
Cuándo 07/06/2017
de 16:00 a 18:00
Dónde Salon de seminarios Graciela Salicrup
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Resumen:

Un continuo es un espacio métrico, conexo, compacto y con más de un punto. Un continuo es indescomponible si no se puede expresar como unión de dos subcontinuos propios. Entre los continuos indescomponibles, Knaster construyo uno muy particular que lleva como nombre el arcoiris de Knaster. Mientras estudiaba las propiedades de este espacio surgió una pregunta de si era posible construir un continuo X que no sólo se indescomponible, sino también hereditaramiente indescomponible, es decir, que no sólo X es indescomponible, sino que todos sus subcontinuos sean indescomponibles, esto porque su espacio no calificaba como respuesta. Investigar esta pregunta, fue el tema de tesis de doctorado de Knaster. Finalmente pudo producir tal fenómeno en el plano. Resultó que tuvo que contruir un continuo bastante complicado (y torcido). Su tesis constó de 40 páginas dedicadas a construir el monstruo y probar que era hereditariamente indescomponible. Fue un reto interesante, le sirvió a Knaster para doctorarse, pero los topólogos interesados en estos temas lo vieron como una curiosidad digna de construirse y tenerla en la vitrina de los ejemplos raros. La tesis de Knaster fue publicada en 1922, en la revista Fundamenta Mathematicae.

En 1920, en el primer volumen de Fundamente, B. Knaster y K. Kuratowski hicieron una pregunta muy natural. ¿Es la circunferencia el único continuo homogéneo del plano?

En 1937, Z. Waraszkievicz, en un momento de ofuscación, soñó que resolvía esta pregunta, escribió un artículo probando que esta pregunta tiene una respuesta positiva, es decir, que la circunferencia es el único. Fue tan bueno su sueño que consiguió engañar a un árbitro de los Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris que le publicó su artículo. No sólo engañó al árbitro sino que, entre otros, también engaño a G. Choquet, quien basándose en el resultado de Waraszkievicz publicó un artículo en los Comptes, clasificando a todos los compactos homogéneos del plano. Según esta clasificación falsa, estos compactos son: (a) los conjuntos finitos, (b) la circunferencia, (c) el conjunto de Cantor, (d) una unión finita y ajena de circunferencias y (e) el producto cartesiano del conjunto de Cantor con la circunferencia.

En 1921, S. Mazurkiewicz se preguntó si el intervalo [0,1] es el único continuo X tal que todos sus subcontinuos no degenerados son homeomorfos a X?

Resulta que en 1948, E. E. Moise publicó su tesis doctoral, en la que construyó un continuo en el plano que es hereditariamente equivalente y que no es un arco, por compartir esta propiedad con el arco, le llamó seudoarco.

R. H. Bing en 1948 probó que el seudoarco es homogéneo, hecho que resultaba un tanto contraintuitivo. En 1953, I. Kapuano publicó un artículo en los Comptes "probando" que Bing estaba equivocado y que el seudoarco no es homogéneo, como se vio que la "prueba" tenia una falla, el mismo Kapuano "corrigió" su artículo con otro artículo publicado en los mismos Comptes (que no se ve que tuviera tan buenos árbitros). Las pruebas de Kapuano no estaban bien pero sembró la desconfianza.

En 1955, Esenin-Vol'pin, refiriéndose a esta situación, y en relación al problema de la existencia de continuos homogéneos del plano publicó en el "Referativni Zhurnal" lo siguiente: "a la luz de esto, el problema de Knaster y Kuratowski permanece abierto".

Intrigado el mismo Knaster le pidió a sus destacados alumnos A. Lelek y M. Ruchoswski, que revisaran con cuidado la prueba de Bing y la expusieran con todo detalle en su seminario en Polonia. Esto se hizo y Lelek escribió una monografía completa de 60 páginas (en polaco) con los detalles. De maneras similares, los topólogos se fueron convenciendo poco a poco de que Bing tenía razón.

En la charla se tratará de exponer la construcción del seudoarco y un bosquejo de una prueba simplificada de la homogeneidad de este espacio.

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