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Soluciones a algunos problemas elípticos con no-linealidades críticas y supercríticas.

Ponente: Jorge Antonio Faya
Institución: IMUNAM
Cuándo 27/03/2014
de 14:30 a 15:30
Dónde Salón 1 IMATE-CU
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En esta plática consideremos el problema clásico de Lane-Emden-Fowler


\((\wp_{p,\Theta})\qquad\left\{\begin{array}[c]{ll}%-\Delta v=|v|^{p-2}v & \text{in }\Theta,\\v=0 & \text{on }\partial\Theta,\end{array}\right.\)


para ambas, no-linealidades críticas \( (p=2^{\ast})\) y supercr\'iticas \((p>2^{\ast})\), en un dominio acotado suave \( \Theta\) en  \( \mathbb{R}^{N}\), \( N\geq 3\). Aquí, como es usual,  \( 2^{\ast}:=\frac{2N}{N-2}\) es el exponente crítico de Sobolev.

La ecuación \((\wp_{p,\Theta})\) modela muchos fenómenos físicos. Para \(p=2^{\ast}\) surge en preguntas fundamentales dentro de la geometría diferencial tal como el problema de Yamabe.

En algunos casos particulares uno puede reducir el problema supercrítico a un problema anisotrópico crítico de la forma

\((\wp_{a_{1},a_{2},a_{3},\Omega}^{*})\qquad\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
-\mbox{div}(a_{1}(x)\nabla u) +a_{2}(x)u=a_{3}(x)|u|^{2^{*}-2}u & \text{in }\Omega,\\
u=0 & \text{on }\partial\Omega
\end{array}
\right.\)

en donde \( \Omega\) es un dominio acotado suave en\(\mathbb{R}^{n}\), \(n\geq3\) y
\(a_{i}\in C^{0}(\overline{\Omega})\) es estrictamente positiva para cada \(i=1,2,3\).
En esta plática daremos una breve reseña histórica del problema\( (\wp_{p,\Theta})\) y mostraremos como la existencia de soluciones para este problema depende de la geometría y la topología del dominio \(\Theta\). También presentamos resultados recientes acerca de la existencia, no existencia y multiplicidad de soluciones para estos problemas.

Estos resultados fueron obtenidos en colaboraci\'on con las profesoras Mónica Clapp y Angela Pistoia y están contenidos en los artículos \cite{ClFa1, ClFaPi1, ClFaPi2}.


\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{ClFa1} M. Clapp, J. Faya \emph{Multiple solutions to the Bahri-Coron problem in some domains with
nontrivial topology}, Proc. Amer. Math. Soc., To appear.


\bibitem{ClFaPi1} M. Clapp, J. Faya, A. Pistoia, \emph{Nonexistence and multiplicity of solutions to elliptic
problems with supercritical exponents}, Calc. Var. Partial Differential Equations, DOI:10.1007/s00526-012-0564-6.


\bibitem {ClFaPi2}M. Clapp, J. Faya, A. Pistoia, \emph{Positive solutions to a
supercritical elliptic problem which concentrate along a think spherical
hole}, J. Anal. Math. to appear.
\end{thebibliografy}

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