Categorías dobles globularmente generadas y el problema de existencia de internalizaciones de bicategorías decoradas

Existen, en la literatura matemática, diferentes definiciones de
lo que se considera debería ser una estructura categórica de orden
superior. Este conjunto de definiciones se reduce, en el caso de
estructuras categóricas de segundo orden, a los conceptos de categoría
doble y de bicategoría. Existen diferentes relaciones entre estas dos
ideas. Toda categoría doble admite una bicategoría horizontal y toda
bicategoría se puede considerar como categoría doble trivial. Estudiamos
extensiones de estas relaciones. Investigamos, en particular, el problema
de existencia de categorías dobles con horizontalización y categoría de
objetos fijas. Nos referimos a este problema como el problema de existencia
de internalizaciones de bicategorías decoradas. Motivados por el problema
de existencia de internalizaciones de bicategorías decoradas introducimos
el concepto de categoría doble globularmente generada. Argumentamos el por
qué consideramos que el estudio de categorías dobles globularmente generada
es esencial en el estudio de problemas de este tipo, y establecemos
analogías formales entre la condición de que una categoría doble sea
globularmente generada y la condición de que una categoría doble sea
trivial. Este trabajo está motivado por los problemas de existencia de
extensiones funtoriales de la construcción de la forma estándar de Haagerup
y la construcción del producto de fusión de Connes en la teoría de
representaciones de álgebras de von Neumann, así como por el problema de
existencia de la tricategoría monoidal simétrica de redes conformes libres
de coordenadas en la teoría de la hipótesis del cobordismo de Baez, Dolan,
Lurie, y Hopkins.