Aplicaciones hermosas del principio de las casillas (Parte 1)

Uno de los principios más evidentes es el siguiente: Si se tienen n+1 objetos que se quieren guardar en n cajas, entonces alguna de las cajas debe contener más de un objeto. Este es un principio muy sencillo, pero es increiblemente poderoso.

En 1834 Johann Dirichlet fue el primero en formalizar este principio, utilizándolo para probar resultados fuertes acerca de ecuaciones diofantinas.

En esta primer parte tendremos aplicaciones del principio de las casillas en teoría de números

, sucesiones y sumas.

Veremos varias demostraciones de resultados sorprendentes que usan este principio de una manera muy elegante. Comenzaremos con un par de ejemplos en teoría de números. Despues veremos una aplicacion en sucesiones, probando el teorema de Erdos-Szekeres. Después veremos cómo encontrar dados algunos números, que la suma de ellos sea múltiplo de un entero dado.

En una segunda parte combinaremos el principio de las casillas con doble conteo para obtener resultados poderosos en combinatoria, teoría de gráficas y teoremas de punto fijo.

Se dice que hay un Libro en el cual Dios tiene escritas las pruebas más hermosas de cada teorema matemático.

Paul Erdos, el matemático brillante del siglo 20, era uno de los que creían en El Libro. Él, Martin Aigner y Gunter Ziegler comenzaron a hacer un esbozo de algunas pruebas que podrían formar parte de este libro. Tras la muerte de Erdos, el trabajo fue continuado por Aigner y Ziegler y desembocó en uno de los libros más astutos y sorprendentes: Proofs from the Book.

Este libro es un paseo sensacional por las distintas pruebas de El Libro en temas como Teoría de Números, Análisis, Combinatoria, Probabilidad y Geometría.

La idea de este seminario es exponer varios de los capítulos del libro Proofs from the Book.