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Dinámica, geometría y clasificación de ecuaciones diferenciales alrededor de un punto singular

Ponente: Ernesto Rosales
Institución: IM-UNAM
Tipo de Evento: Investigación
Cuándo 07/04/2016
de 11:00 a 12:00
Dónde Auditorio "Alfonso Nápoles Gándara"
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En la plática se expone un análisis cualitativo de sistemas de ecuaciones en el plano 

 \(x' = ax + by + \dots \)

\(y' = cx + dy + \dots \)

en una vecindad de un punto singular, donde \(t\) es la variable temporal,  \(x'= \frac{dx}{dt}\), \(y'= \frac{dy}{dt}\),  y los puntos  suspensivos denotan términos en la serie de Taylor de orden mayor que uno.  

El primer caso a considerar es cuando el sistema es lineal. En este caso, a los sistemas podemos agruparlos de acuerdo a coincidencias (desde algún punto de vista) en el comportamiento de sus soluciones respecto a la variable temporal: por ejemplo los que tienen al punto singular como único atractor, o repulsor, o aquellos en los que el punto singular no es ni atractor ni repulsor, o aquellos cuya única órbita compacta es el punto singular, o aquellos en que todas las órbitas son compactas. También se pueden considerar propiedades asintóticas de las soluciones cuando el el parámetro temporal tiende a infinito etc.  

En la plática presentamos estas distintas maneras de agrupar los sistemas, veremos algunos ejemplos clásicos de como se puede relacionar la dinámica de las ecuaciones en puntos singulares con la estructura geométrica y topológica de una superficie compacta. Y en la parte final se consideraran caso mas complicados por ejemplo si consideramos ecuaciones con mas variables o ecuaciones donde el parámetro temporal \(t\) es una variable compleja y algunos resultados relacionados con la clasificación de estas ecuaciones. 

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