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Relaciones para automorfismos estándar de álgebras de Lie semisimples

Ponente: David Reynosos
Institución: Instituto de Matemáticas
Tipo de Evento: Formación de Recursos Humanos
Cuándo 08/05/2017
de 16:00 a 17:45
Dónde Salón 1 de seminarios
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Sea  \(\mathfrak{g}\) uná lgebra de Lie semisimple con subálgebra de Cartan \(\mathfrak{h}\) y

\(\mathfrak{g=\mathfrak{h}\oplus}\oplus_{\alpha\in\Phi} \mathfrak{g}_\alpha\)

la descomposición correspondiente en espacios raíz. Para una base  \(\alpha_1, \ldots \alpha_n\)  de \(\Phi\)  denotamos con \(h_1,\ldots h_n\) las coraíces correspondientes.  Además podemos escoger \(x_i\in\mathfrak{g}_{\alpha_i}, y_i\in\mathfrak{g}_{-\alpha_i}\) tal que \([x_i, y_i]=h_i\) para \(i=1,2,\ldots n\). Entonces los automorfismos estándar de \(\mathfrak{g}\) son de la forma

\(\tau_i = \exp(\operatorname{ad}(x_i)) \exp(\operatorname{ad}(-y_i)) \exp(\operatorname{ad}(x_i))\) .

Estos automorfismos cumplen las relaciones de trenza del grupo de Weyl de \(\mathfrak{g}\).  Por otro lado  \(\tau_i^2\neq 1\). Sin embargo se cumplen ciertas relaciones más complicadas. La verificación de todas éstas relaciones esta basada  en consideraciones topológicas. En esta charla veremos como se obtienen las relaciones de forma elemental en el caso particular  \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n+1}\).