Una perspectiva combinatoria de objetos geométricos: nudos y sus polinomios

Un nudo es un subespacio de $R^n$ que es homeomorfo a una circunferencia. Vamos a ver el poder de la combinatoria para resolver problemas geométricos, como el de clasificar nudos. Dado un nudo $K$, asociamos una grafica $G_K$, a partir de la cual asociamos un matroide $M(G_K)$ y a partir de un matroide $M$, asocia- mos un polinomio de Tutte $T_M(x,y)$. Nos interesa explorar ideas acerca del tipo de informacioìn que este polinomio nos dice acerca del nudo. Reciìprocamente, un nudo se puede obtener con una graìfica 4-regular $H$ encajada celularmente en una superficie. Cuando esto ocurre, las caras admiten una 2 coloracioìn que induce una asignacioìn de signos en las aris- tas de $H$. Eìsta graìfica 4-regular tiene varias propiedades interesantes. Ademaìs de $H$ tenemos otras dos graìficas duales una de la otra $G$ y $G*$ que son las graìficas de caras de cada color en $H$. Vamos a platicar un poco de algunas ideas que hay al respecto de estas interesantes conex- iones entre objetos geomeìtricos y combinatorios.