Combinatoria en el Instituto de Matemáticas
Hortensia Galeana-Sánchez
Grupo de Combinatoria
El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al
desarrollo de otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra,
teoría de los números, y probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha
habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los
matemáticos. por ejemplo el problema de los cuadrados mágicos que
son arreglos de números con la propiedad de que la suma de los
elementos de cualquier columna, renglón o diagonl es el mismo
número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los
cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines
místicos. Los coeficientes binomiales, que son los coeficientes
enteros de la expansión de fueron
conocidos en el siglo XII. El triángulo de Pascal que es un arreglo
trinagular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo
XIII.
Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge en el
siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre
la teoría de juegos de azar. Estos trabajso, que formaron los
fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los
principios para determinar el número de combinaciones de elementos de
un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión
entre combinatoria y probabilidad.
El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue
introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte
Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la
combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de
conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedacado a
establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue
necesario introducir también un buen número de nociones básicas de
combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al ca'lculo
de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de leibniz y
Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una
nueva e independiente rama de las matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios
del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En
sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros
positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos
fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que
es el método de las funciones generadoras. También se le considera
el padre de la teoría de gráficas por el planteamiento y solución
del problemas de los "Puentes de Königsberg" usando por primera
vez conceptos y métodos de teoría de gráficas. Los primeros
problemas de teoría de gráficas surgieron de la búsqueda de
solución a algunos problemas cotidianos y también en el
planteamiento de algunos acertijos matemáticos tales como el problema
de los Puentes de Königsberg, el arreglo de reinas en un tablero
de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el
problema del agente viajero, etcétera.
El problema de los cuatro colores formulado a mediados del siglo XIX
(cuatro colores son suficientes para colorear las regiones de un mapa
de tal manera que regiones con frontera tengan asignados distinto
color) pasó de ser un mero acertijo matemático a ser fuente de
importantes problemas y resultados en tería de gráficas de interés
tanto teórico como en aplicaciones. Este ha sido uno de los problemas
teóricos más desafiantes en la historis de la combinatoria debido a
la simplicidad de su planteamiento.
En Inglaterra a finales de siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el
problema de calcular el número de isómeros de hidrocarburos
saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeraión
de gráficas. Por este tiempo el matemático George Boole usó
métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica
simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló
en relación con problemas de topología. Uno de los factores más
importantes que han contribuido al gran desarrollo que ha tenido la
combinatoria desde 1920 es la teoría de gráficas, la importancia de
esta disciplina estriba en el hecho de que las gráficas pueden servir
como modelos abstractos para modelar una gran variedad de relaciones
entre objetos de un conjunto. Sus aplicaciones se extienden a campos
tan diversos como la investigación de operaciones, química,
mecánica estadística, física teórica y problemas
socio-económicos. La teoría de redes de transporte se puede ver como
un capítulo de la teoría de las gráficas.
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