LÓGICA Y FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
Alejandro Odgers
Grupo de Lógica
Los arquéologos
encontraron en 1932, en Moravia, Checoeslovaquia, un hueso de lobo;
el hallazgo se hizo en un extracto geológico de 30 000 años de
antigüedad. El hueso de Moravia presenta cincuenta y cinco
marcas, distribuidas de cinco en cinco, y cada cinco de estos
subgrupos están separados por un trazo de mayor longitud. Nadie sabe
con exactitud el motivo de las incisiones hechas al hueso, pero la
opinión más generalizada es que se trata del registro de las
propiedades de algún hombre prehistórico; de ser
ése el caso, se
trataría de la inscripción más antigua que se conoce de un
número. De cualquier manera, los historiadores de la matemática
coinciden en que los números naturales se crearon debido a la
necesidad de contar, y que la aritmética se fue desarrollando conforme
las operaciones efectuadas en el trueque, o en el comercio se fueron
haciendo más complejas.
El nacimiento de la geometría también
obedeció a necesidades prácticas, pues en las primeras sociedades
agrícolas adquirió importancia la posesión de la
tierra, y fue
entonces cuando se obtuvieron los primeros métodos de medición de
superficies. La agricultura fue también la fuente de otras ciencias,
por ejemplo de la astronomía, pues aunque es muy probable que desde
épocas remotas el hombre ya hubiera observado regularidad en el paso
de los astros por la bóveda celeste, es muy posible que en
estadíos
preagrícolas hubiera asociado ciertas condiciones climáticas con
posiciones particulares de los astros; con el inicio de la agricultura
adquirió mayor importancia la determinación del momento
propicio para
la siembra, fue entonces cuando se observó el cielo con más
detenimiento; la invención de un calendario es un acontecimiento que
se dio en todas las civilizaciones, y en muchos casos sorprende la
exactitud que obtuvieron.
No sólo la aritmética, la geometría o la
astronomía surgieron debido a necesidades prácticas, son muchos los
conceptos matemáticos que han surgido de actividades como contar,
medir, comparar, mover, transformar, o describir la forma de
algo. Ejemplos más recientes que los ya citados de teorías surgidas
de esa manera son la probabilidad, la estadística matemática, la
programación lineal, la teoría de los juegos, la teoría de la
computación, o cualquiera de los muchos métodos matemáticos de la
física.
Con frecuencia han sido las aplicaciones las que han
modelando inicialmente a la matemática. Con el tiempo se descubren
nuevas situaciones a las que es aplicable alguna teoría
matemática
que surgió en otro contexto y las nuevas aplicaciones llevan a
desarrollar otros aspectos de la teoría,
enriqueciéndola. Pero las
nuevas aplicaciones corresponden a interpretaciones diferentes de los
conceptos matemáticos, y en muchos casos las reglas de operación son
también diferentes; en esta etapa de la evolución, un mismo término
puede tener significados diversos, es claro que ésto puede ser
fuente de malos entendidos, y claro también, que en estos casos, las
confusiones se desvanecen cuando se precisa el lenguaje.
No debe
pensarse que toda la matemática ha emanado de problemas de otras
ciencias, teorías matemáticas completas han surgido de problemas
inherentes a la matemática misma. Hacia mediados del siglo XIX, la
matemática había madurado a tal grado que varias de sus ramas se
estaban desarrollando a partir de preguntas relativas a la
fundamentación de la matemática; una de tales preguntas era la de
independencia del postulado de las paralelas, que desde la
antigüedad había ocupado a los geómetras, y que en
el siglo XIX
llevó a la creación de las geometrías no euclidianas; otro
problema importante era la definición de número real, y la
fundamentación del análisis de las funciones de variable
real. A partir del siglo XIX, se han dado numerosas teorías
matemáticas, que se han
desarrollado de manera abstracta, independientemente de sus
aplicaciones; pero los conceptos surgidos de esta manera parecen
divorciados de la realidad, ése podría ser el caso de los llamados
números imaginarios, de las geometrías no euclidianas, o de la
aritmética transfinita. El estudio de las matemáticas como disciplina
independiente ha permitido que ésta avance a una velocidad sin
precendente, pero un desarrollo de esta índole plantea interrogantes
inquietantes, por ejemplo: ¿cuál es la naturaleza de la
matemática?, ¿cuál es su objetivo?, ¿cuáles son sus métodos?,
etcétera.
A la problemática bosquejada, debemos añadir un problema
que surgió a fines del siglo XIX, se trata de numerosas
contradicciones que surgieron en la teoría de los conjuntos de
Cantor, algunas de éstas son bien conocidas en el medio, se trata de
las paradojas halladas por B. Russell, Grelling, Nelson y
Burali-Forti, entre otros. La teoría de los conjuntos de Cantor ya
había sido objeto de críticas enérgicas por parte de Kronecker,
debido a la forma de tratar el concepto de conjunto infinito, y estas
críticas se extendían a la definición de número real, que había
sido adoptada por los analistas; ahora se cuestionaba la consistencia
de tales teorías. Todo lo anterior llevó a los matemáticos a
meditar sobre la naturaleza de la matemática, su fundamentación, su
consistencia, su papel dentro de la sociendad, etcétera. Respecto a
la fundamentación surgieron tres corrientes de pensamiento
principales, que han recibido el nombre de escuelas, éstas son la
logicista, la intuicionista, y la formalista.
La tesis logicista
afirma que los conceptos matemáticos se pueden definir a partir de
los conceptos lógicos, y por ello la matemática puede ser
considerada una parte de la lógica. La tesis logicista no surgió en
el siglo XIX, ya Leibniz en 1666 había expresado opiniones de tipo
logicista, y de hecho es posible encontrar antecedentes de esta
corriente desde Aristóteles. Sin embargo es G. Frege, con sus
trabajos titulados Begriffschrift (1879) y Die
Grundlagen der Arithmetik (1884), el primero que comienza a
explicar la matemática a partir de la lógica. La obra de
Frege no recibió inicialmente mucha
atención, hasta que B. Russell, a principios de nuestro siglo, puso
de relieve el verdadero significado de dichas obras. B. Russell y
A. N. Whitehead, inspirados en la obra de Frege, publicaron los
Principia Mathematica que se considera la obra fundamental de la
escuela logicista. B. Russell trata de evitar las paradojas surgidas
de la teoría de los conjuntos de Cantor, para ello asocia a los conjuntos
un tipo, iniciando así una teoría de los tipos. La teoría de los
tipos de los Principia Mathematica resultó demasiado
compleja, y aunque se hicieron diversos trabajos para simplificarla,
muchos matemáticos se inclinaron a favor de otras posibilidades de
fundamentacion, en particular favorecieron la fundamentación de la
matemática a partir de las teorías axiomáticas de los conjuntos de
Zermelo y Fraenkel o la de Gödel y Bernays. No obstante, en
épocas recientes se han desarrollado teorías de los tipos muy
elegantes, que han atraído la atención, no únicamente de los
especialistas de la lógica matemática, sino también de los
categoristas y de los teóricos de la computación. Conviene señalar
que existen formas de fundamentar en las que los conceptos básicos no
son el conjunto, y el de membresía; en ocasiones se ha tomado como
concepto primitivo al de función, junto con el de algunas de las
operaciones que se efectúan con las funciones, ése es el caso del
cálculo lambda introducido por A. Church, y de hecho la filosofía de
la teoría de las categorías iniciadas por Eilenberg y S. Mac Lane
(1945) apunta también en esa dirección. En las
últimas décadas se
ha aclarado que el estudio de ciertas categorías es equivalente
al del
estudio de teorías lógicas que se habían introducido con
propósitos de fundamentación, ése es el caso de las categorías
bicartesianamente cerradas cuyo estudio es equivalente al del calculo
lambda con tipos, o el de los topoi que se encuentran estrechamente
relacionados con las teorías intuicionistas de los tipos.
La tesis
intuicionista afirma que existen conceptos matemáticos que están
fundamentados en nuestra intuición, uno de esos conceptos es el de
número natural, nuestra intuición de número natural proviene de
nuestra percepción de los sucesos, ordenados respecto al tiempo. Para
los intuicionistas, la matemática se debe desarrollar a partir de
esos conceptos, y no a partir de conceptos lógicos; es opinión de los
intuicionistas, que los conceptos y las reglas de la lógica se
obtuvieron de las operaciones entre conjuntos finitos, y no a la
inversa. Sin embargo, para el intuicionista algunos de los conceptos
empleados en la matemática clásica no tienen un
fundamento intuitivo,
uno de ellos es el de conjunto infinito, para el intuicionista, los
números naturales se van construyendo uno a uno, pero el conjunto de
números construido en cada etapa es finito, aunque se tenga la
posibilidad de obtener conjuntos cada vez mayores.
Con el punto de vista intuicionista, tampoco tiene sentido extender
los principios lógicos a situaciones infinitas, en consecuencia,
los cuantificadores se deben restringir, y algunos principios
lógicos como el del tercero excluido no tiene validez universal. Las
demostraciones por contradicción no tienen cabida en la escuela
intuicionista, para demostrar la existencia de un objeto es necesario
contruirlo, o al menos mostrar un algoritmo, mediante el cual podría
construirse el objeto en cuestión, en un número finito
de pasos.
Es claro que con un punto de vista estrictamente intuicionista, gran
parte de la matemática clásica se tendría que
deshechar, ése es el caso de la aritmética transfinita,
así como las definiciones usuales de número real.
David Hilbert aceptaba que el concepto de conjunto infinito no tenía una
base intuitiva, pero se negaba a abandonar la matemática que hacía
uso de él. Para rescatar a la llamada matemática clásica, propuso
un programa, que bosquejó en 1904, y comenzó a desarrollar, junto
con sus colaboradores, a partir de 1925. Hilbert proponía desarrollar
la matemática formalmente, partiendo de un sistema de axiomas, y
mediante el uso de las reglas de inferencia de la lógica
clásica. Por otra parte se demostraría la consistencia de la
teoría obtenida de esa manera; en caso que se obtuviera una
demostración de consistencia, entonces no importaría ni el tipo de
reglas empleadas ni las posibles interpretaciones de la teoría. Para
obtener la demostración de consistencia, sugería considerar a las
demostraciones de la teoría como objetos de estudio de una
metateoría, a la que Hilbert llamó teoría de las pruebas. La
demostración de la consistencia de la teoría se haría en la
metateoría, empleando los métodos de demostración no
cuestionados; a dichos métodos se les llamó finitarios. Hilbert y sus
seguidores consiguieron, únicamente, demostrar la consistencia de
algunos fragmentos de la matemática clásica. Posteriormente se
encontró, como consecuencia de un teorema de Gödel, que si una
teoría contiene al menos a la aritmética clásica, entonces su
consistencia no puede demostrarse con métodos finitarios. Debemos
asentar que al fundamentar la matemática sobre algunas de las
teorías axiomáticas de los conjuntos, o sobre algunas de las
modernas teorías de los tipos, no han surgido contradicciones, hasta
la fecha.
Antes de cerrar esta introducción, es necesario hacer notar el papel,
cada vez más relevante, que la teoría de las categorías viene
desempeñando en la fundamentación de la matemática. La
teoría de las categorías fue introducida por
S. Eilenberg y S. Mac
Lane en 1945, con el propósito de precisar el concepto de
transformación natural, concepto que era usado de manera vaga en la
topología algebraica, y en álgebra; para definir transformación
natural fue necesario definir funtor, y para definir esto último fue
necesario definir el concepto de categoría. El derrotero inicial de
la teoría de las categorías estuvo marcado por sus
aplicaciones a la topología, en particular a la teoría de
la homología; la primer familia de categorías que se
estudió con detalle fue la de las categorías
abelianas. Con el tiempo la teoría de las categorías se
convirtió en un lenguaje adecuado
para expresar resultados generales de diferentes áreas de la
matemática, de manera especial en la topología, el
álgebra, y la geometría algebraica. Más adelante
se inició el estudio de otras familias de categorías
interesantes, entre ellas destacan las categorías
topológicas, las categorías bicartesianamente cerradas,
y los topos (topoi). Algunas familias de categorías han demostrado su
utilidad para la fundamentación, una de esas familias es la de los
topos. En 1964 W. Lawvere presentó una descripción categórica de
la categoría de los conjuntos, pronto se observó que al omitir
algunos de los axiomas menos naturales se obtenían familias de
interés en diversas ramas de la matemática, una de tales familias
fue la de los topos elementales, que incluye a la de los topos de
Grothendieck, que había sido estudiada por los geómetras
algebraicos. Los topos elementales comparten con la categoría de los
conjuntos algunas de sus propiedades básicas, eso permite que algunas
de las construcciones conjuntistas se puedan efectuar dentro del
contexto más general de los topos; como consecuencia los topos pueden
verse como universos de discurso alternativos para la
matemática. Otro aspecto que hace interesantes a los topos, desde el
punto de vista de la fundamentación, es que cada topo
está asociada a una teoría intuicionista de los tipos;
así en teoría de los
topos se tienen suficientes motivos para realizar argumentos sujetos a
las restricciones intuicionistas. Existe también un teorema que
establece la equivalencia entre la teoría de los topos y las llamadas
teorías locales de conjuntos, las que están estrechamente
relacionadas con las teorías de los tipos: los conjuntos tienen
asignado un tipo, y algunas de las operaciones conjuntistas sólo se
pueden efectuar cuando se aplican a conjuntos del mismo tipo. El
teorema de equivalencia tiene como consecuencia que los teoremas
válidos en las teorías locales de los conjuntos resulten
válidos en cualquier topo.
Debido a la relación estrecha que se ha encontrado entre diversas
teorías lógicas y ciertas clases de categorías ha surgido una nueva
disciplina a la que se ha denominado lógica categórica. Además de
los temas arriba enunciados, en la lógica categórica se acostumbra
investigar la clase de funciones que pueden ser representadas en
categorías particulares.
En el IM, UNAM ha habido investigadores interesados por la lógica y
los fundamentos de la matemática. Los primeros trabajos en esta área
son tres contribuciones a la teoría de los conjuntos, realizadas por
Roberto Vázquez y Francisco Zubieta, los dos primeros trabajos
aparecieron en el primer número del Boletín de la Sociedad
Matemática Mexicana (1944), el tercero apareció en el
mismo boletín en 1945.
Posteriormente en 1949, Gonzalo Zubieta empieza a trabajar en el
Teorema de Completitud de Gödel, tema de su tesis, que fue
dirigida por el Prof. Willard Quine. Después de este trabajo se ocupa
de temas afines, como el de la sustitución de variables funcionales, el
de las definiciones sintácticas de validez, y el de las definiciones
formales de numerabilidad; estos trabajos fueron publicados en el
Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana entre 1950 y
1955. En 1956, el Prof. G. Zubieta, pasa a la investigación de
la teoría de los modelos, bajo la dirección del
Prof. Tarski, y obtiene una caracterización algebraica de las
clases artiméticas definidas sin igualdad. Este trabajo fue
publicado en el Boletín de la Sociedad Matemática
Mexicana (1957).
La tercera época en la investigación sobre lógica y fundamentos, en
el IM, UNAM se inicia a mediados de los años setenta, cuando
Francisco Tomás inicia una serie de investigaciones acerca de las
teorías de la recursión. Esta serie de investigaciones
se inicia con
un criterio de consistencia, aplicable a la construcción de ciertas
teorías sin cuantificadores, y la aplicación de éste a la
aritmética recursiva, el trabajo se publicó en los Anales del IM,
UNAM en 1975. El Dr. Tomás continúa el trabajo anterior, para
presentar la aritmética recursiva como formalismo abierto, Anales del
IM, UNAM de 1977. A esos primeros artículos seguiría una
formalización recursiva finitariamente consistente de un trozo de la
aritmética no constructiva, y su relación con el analisis recursivo,
Anales del IM, UNAM de 1980. Aritmética i análisi formalment
recursives, y Análisi formalment recursiva
aparecieron en
Publicaciones Matemàtiques de la Universidad de Barcelona, en
1984 y en 1986, respectivamente. En 1986, publica con Gustavo Arenas
Formally recursive arithmetic and classical arithmetic, en los Anales
de IM, UNAM. Finalmente, en 1989, el Dr. Tomás nos da una versión
preliminar acerca del programa de Hilbert.
Los trabajos de F. Tomás nos proveen de un formalismo recursivo
mediante el cual se puede fundamentar a la aritmética, así como un
análisis matemático poderoso. La consistencia del sistema puede
demostrarse finitariamente. El Dr. Tomás introduce en sus trabajos
una clase de funciones aritméticas, a las que llama funciones
ultradiofánticas. La clase de las funciones ultradiofánticas contiene a
la clase de funciones recursivas.
Leopoldo Román interpreta las funciones ultradiofánticas en un
contexto categórico, en su tesis de doctorado, obtenido en la UNAM
en 1985. Posteriormente, Román estudia categorías dotadas de un
objeto de números naturales, se interesa sobre todo en las funciones que
pueden representarse en ellas; los resultados se publicaron en varios
artículos de 1988 a la fecha.
Existe otro aspecto interesante de fundamentación que no hemos
abordado, se trata de la fundamentación matemática de las otras
ciencias; en otras secciones se abordará el papel de algunas ramas de
la matemática en la fundamentación de otras ciencias, aquí
pondremos de relieve el papel de las lógicas cuánticas en la
fundamentación de la mecánica cuántica. Inicialmente, se intentó
describir a la mecánica cuántica, mediante la estructura matemática
particular que se obtenía de la retícula de los subespacios cerrados
en un espacio de Hilbert. Sin embargo, dicha retícula es completa y
la existencia de observables que no pueden ser simultáneamente
medibles implica la existencia de subconjuntos de la retícula que no
tienen supremo. Esto lleva a investigar a los conjuntos parcialmente
ordenados, en los que hay operaciones que comparten algunas de las
propiedades de los conectivos lógicos, algunas de estas estructuras
reciben el nombre de lógicas cuánticas y con ellas se intenta
modelar algunos aspectos de la mecánica cuántica. El Dr. Leopoldo
Román y la Dra. Beatriz Rumbos han realizado investigaciones sobre
lógicas cuánticas, así como de algunos temas relacionados con
ellas, algunos de los resultados de estas investigaciones se han
publicado, a partir de 1988.
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