Probabilidad en el Instituto de Matemáticas
Ma. Emilia Caballero


Grupo de Probabilidad



La historia del cálculo de probabilidades es, entre todas las ramas de la matemática, algo singular, ya que nace como una teoría para juegos de azar y muy pronto se utiliza para el estudio de fenómenos colectivos tales como problemas actuariales, riesgos económicos y sociales, predicciones estadísticas y otros muchos problemas filosóficos de diversos tipos. Así durante casi tres siglos (XVII, XVIII y XIX el llamado periodo clásico de la probabilidad), la motivación y el motor para su desarrollo proviene sobre todo, de temas externos a la matemática. El problema principal a que se enfrenta esta teoría, es el de cómo pasar del contenido intuitivo del concepto de azar a conceptos rigurosos dentro de la matemática. En los problemas de tipo discreto o finito esta dificultad no se presenta. En un juego de baraja (póker) la pregunta "¿cuál es la probabilidad de sacar un póker de ases?" tiene una respuesta bien definida.

En otro tipo de problemas las cosas pueden complicarse; por ejemplo, consideremos el problema de calcular la probabilidad de que un dardo al ser lanzado contra un disco caiga en cierta parte prefijada del disco. Este problema puede ser complicado o sencillo y esto depende de cuál sea el subconjunto del disco que se fijó.

A principios de este siglo quedaba claro que la teoría de la probabilidad requería de un marco teórico más adecuado para su desarrollo y éste se encuentra gracias a los avances logrados en otras áreas de la matemática. Al construir este marco se logran varias cosas: no sólo se libera a la teoría de su mero papel de instrumento, sino que se la convierte en una rama plenamente reconocida de las matemáticas, sin que por ello olvide su motivación externa e intuitiva.

En esta breve nota hablare' del desarrollo de la teoría durante las primeras décadas de este siglo (por ser la parte fundamental) y sobre las etapas posteriores trataré solamente de los aspectos más directamente vinculados al trabajo desarrollado en este Instituto.

La rama toma su forma actual a partir de los años 30's cuando Kolmogorov establece con sus axiomas para el cálculo de probabilidades las bases matemáticas para asentar la teoría, con lo cual, además se aclaran las aparentes paradojas existentes. Todo esto aparece en su famosa monografía Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, (1933). Los antecedentes del esquema Kolmogorov son:
  1. Los notables avances que en el área del análisis matemático se dan durante la primera década de este siglo con la creación de la teoría de la medida (E. Borel) y de la integral de Lebesgue. Esto surge independientemente de la probabilidad, a pesar de lo cual, resulta ser la herramienta ideal para su desarrollo y sólido sustento matemático.


  2. Por el lado de la probabilidad, se cuenta con la demostración de E. Borel de la ley fuerte de los grandes números en donde éste ya maneja la noción de probabilidad con las propiedades aditivas que tiene una medida. Por otra parte, los trabajos de Norbert Wiener (de los que hablaremos más adelante) y los de Paley y Zigmund, contienen desarrollos importantes de la teoría y en ellos ya manejan la idea de probabilidad como medida. También Lominicki y Steinhaus (1923) escriben sobre la relación de la probabilidad con la teoría de la medida. No menos relevante es el trabajo relativo a las cadenas de Markov y sus aplicaciones.
Por su parte N. Wiener, en sus trabajos de los años veinte, logra resolver un importante problema consistente en dar un modelo matemático preciso y riguroso de un fenómeno aleatorio por excelencia: el movimiento browniano. Tiene este nombre porque fue observado por primera vez por el botánico Robert Brown en 1828, al analizar con el microscopio partículas de polen suspendidas en agua. Es plausible pensar que una partícula de polen no tiene una dirección fija, sino que, debido a los constantes impactos que recibe de las moléculas de agua cambia constantemente de dirección. Por ello su posición al cabo de cierto tiempo resulta impredecible. La matemática clásica sirve para estudiar fenómenos deterministas, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico; no así para fenómenos de tipo aleatorio como el del movimiento browniano. Por ello el modelo que N. Wiener dio para el movimiento browniano, es un gran paso adelante y uno de los más espectaculares logros de la entonces novedosa teoría de las probabilidades.

Se puede así considerar que el trabajo de estos grandes matemáticos de nuestro siglo impulsa de manera determinante la creación de esta nueva rama de las matemáticas y con ello abren un nuevo cauce de investigación que ha sido en las siguientes seis décadas excepcional por sus logros y por su extraordinario dinamismo.

Durante el periodo que abarca de 1923 a 1950 se formaron en este campo varias escuelas:
  1. La rusa dirigida principalmente por Kolmogorov y Khintchin.


  2. La estadounidense creada por Feller y Doob.


  3. En Francia aparece la notable figura de Paul Levy quien influirá de manera decisiva en las dos anteriores, pero que no logra en su época formar una escuela francesa. (Esta se formará después con P. A. Meyer y su grupo de Estrasburgo, así como en Neveu y Fortret en París).
El número de matemáticos destacados que han participado en la aventura de crear la teoría es enorme, por ello sólo mencionaré a aquellos cuyo trabajo se relaciona con el realizado en este Instituto, y que abarca los siguientes temas:
Actividades desarrolladas en el Instituto de Matemáticas

(a) Seminario de probabilidad y potencial (1976-1980).
Realizado semanalmente en el IM, UNAM y dirigido por María Emilia Caballero y Diego Bricio Hernández.

Seminario de integración estocástica (1983-1984). Impartido por T. Bojdecki.

Seminario de cálculo anticipativo (1990). Impartido por D. Nualart.

Seminario interinstitucional de probabilidad (de 1985 a la fecha). Coordinado por el Dr. Luis Gorostiza.

(b) Coloquios y Congresos en los que el IM, UNAM ha tenido
una participación importante:

1er. Coloquio de probabilidad y procesos estocásticos (1988). CIMAT, Guanajuato, Gto. Organizado por Víctor Pérez Abreu, Diego Bricio Hernández y Helga Fetter.

Coloquio Kai Lai Chung (1989). CIMAT, Guanajuato, Gto. Organizado por Diego Bricio Hernández y María Emilia Caballero.

IV CLAPEM (Congreso Latinoamericano de Probabilidad y Estadística Matemática) (1991). México, D. F. Organizado por Víctor Pérez-Abreu, Luis Gorostiza, María Emilia Caballero y Begoña Fernández (parte de probabilidad).

2o. Coloquio de probabilidad y procesos estocásticos (1992). CIMAT, Guanajuato, Gto. Organizado por María Emilia Caballero, Begoña Fernández y Víctor Pérez Abreu.


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