Topología en el Instituto de Matemáticas
Marcelo Aguilar
Grupo de topología
En la topología se estudian, por un lado, aquellos espacios en los
que se tiene una noción de vecindad para cada uno de sus
puntos, llamados espacios topológicos, y por otro lado las
funciones entre ellos que respetan esta noción de cernacía, llamadas
funciones continuas.
Originalmente la topología se conoció como Analysis Situs,
nombre debido a Wilhem Leibniz (1646-1716). Su idea de la topología
la encontramos en el siguiente párrafo escrito por Leonard Euler
(1707-1783):
- Además de aquella parte de la geometría que trata sobre
cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación,
el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida,
fue W. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz
determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y
de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se
ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello,
cuando recientemente se mencinó cierto problema que parecía
realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal
manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía
solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la
geometría de la posición...
El párrafo anterior es la introducción del artículo en el que se da
la solución del famoso problema de los Puentes de Königsberg en
1726 y que consiste en dar una condición necesaria y suficiente para
que una gráfica (poliedro de dimensión 1) pueda ser trazada con una
línea continua recorriendo cada arista una sola vez. Este artículo
se considera como el primer trabajo de topología.
El concepto de espacio topológico fue surgiendo de los trabajos de
varios matemáticos, como Riemann (1822-1866) y Cantor (1845-1918),
quien definió loa conceptos de punto interior, punto frontera,
punto de acumulación, etcétera, para espacios euclidianos. En
1906 Fréchet (1878-1973) define los espacios métricos y en 1913 Weyl
sugiere el uso de vecindades para definir espacios
topológicos. Finalmente, en 1914, Hausdorff (1868-1942) define las
propiedades adecuadas que deben satisfacer las vecindades.
La topología es una de las partes más extensas de las matemáticas,
y se ha ido subdividiendo en varias ramas. A continuación hablaremos
un poco de cada una de ellas para tratar de dar un marco de referencia
para los trabajos de topología hechos en el IM, UNAM. Cabe aclarar
dos cosas: la primera es que estas ramas no son independientes, por el
contrario, hay muchas teorías como la de la dimensión o el
cobordismo, que utilizan resultados de varias de estas ramas. La
segunda es que sólo se mencionarán algunos puntos importantes de
estas ramas ya que no pretendemos hacer una historia de la topología.
Las ramas de la topología que se han cultivado en el IM, UNAM son las
siguientes: topología de conjuntos, topología algebraica y
diferencial, topología categórica, topología geométrica y
combinatoria, y teoría de nudos.
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