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Jesús Muciño, CCM-UNAM
3:00 pm, 17 de abril: Dos aplicaciones de integrales Abelianas.
Dada una curva algebraica, la teoría clásica (Abel, Jacobi, Torelli) nos enseña que las integrales Abelianas de todas las 1-formas holomorfas sobre todos los ciclos, forman un objeto simple que describe/recupera la geometría de la curva misma. Nosotros consideramos familias de curvas algebraicas en C^n con familias de 1-formas meromorfas. Estudiaremos como sus integrales Abelianas describen ciertas obstrucciones a dos problemas geométricos; un problema de perturbación de polinomios en C^2 y a la Conjetura Jacobiana en C^n (acerca de la invertibilidad de aplicaciones polinomiales).
Trabajo conjunto con L. Giraldo, A. Bustinduy (ambos en España) y S. Rebollo (Chile).
Xavier Gómez-Mont , CIMAT-Gto.
3:00 pm, 24 de abril: De la geometría al álgebra y de vuelta a la geometría.
Iniciamos con un problema geométrico que es asociarle a un campo de vectores polinomial (u holomorfo) en n+1 variables complejas tangente a una hipersuperficie definida por f=0, todo con singularidades aisladas, un número que mide el "orden" de anulamiento del campo de vectores, que generaliza el índice de Poincaré-Hopf y que se denomina el índice GSV, por GomezMont-Seade-Verjovsky. Este número se define topológicamente al regenerar la singularidad f=0 a f=t y "transportar" el campo de vectores, ponerlo en posición general y contar a la Poincaré-Hopf. El número está bien definido, pero no da para calcularse explícitamente (claramente).
Ahora, algebraicamente construimos un "complejo" al contraer formas diferenciales con el campo de vectores, calculamos la dimensión de los grupos de homología del complejo y hacemos la suma alternada de estas dimensiones (la característica de Euler del complejo, a la Riemann-Roch-Hirzebruch). Este número viene expresado como la suma de n+1 números (por cada grupo de homología) y se denomina el índice homológico. Afortunadamente el índice GSV y el homológico coinciden y por los tanto da un método algebraico para calcular el índice GSV (topológico).
Haciendo un poco más de álgebra homológica (un bicomplejo formado por resoluciones libres de los módulos de diferenciales) y calculando la sucesión espectral, prueba uno que, afortunadamente, excepto en los 2 extremos, todos los grupos de homología tienen la misma dimensión, los pares de hecho son isomorfos e igualmente los impares y son duales. Esto simplifica enormemente la fórmula. Por supuesto esto nos enfrenta a ¿qué miden geométricamente estos grupos de homología y por qué son isomorfos o duales? No sé la respuesta.
Si ahora trabajamos sobre los números reales, resulta que la dimensión de espacios vectoriales no es suficiente, sino que hay que considerar unas formas bilineales no-degeneradas en los espacios vectoriales y considerar la signatura de estas formas bilineales. En el caso que la dimensión n es impar, los 2 índices coinciden y tenemos una respuesta para este caso. En el caso que la dimensión n es par, entonces la diferencia de los 2 índices es un número que solo depende de la función f, no del campo de vectores X. Este número se expresa como la suma alternada de signaturas de formas bilineales que solo dependen de f. Esto también nos da la fórmula buscada. Pero, ¿cuál es el contenido geométrico de estas formas bilineales? Estamos intrigadamente indagando. Esto nos ha llevado a introducir las filtraciones en la homología dada por la Teoría de Estructuras de Hodge Mixtas y las "polarizaciones" inducidas...
Esta línea de investigación la he desarrollado conjuntamente con Seade, Verjovsky, Bonatti, Mardesic, Giraldo, Alanís, de la Rosa, González Villa, Artal, Portilla, Otto Romero y Oziel Gómez Martínez.
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Lara Bossinger, IMNUAM-Oaxaca
3:00 pm, 20 de marzo: Aplicaciones a variedades tóricas y degeneraciones tóricas.
Informaré sobre un reciente trabajo conjunto en curso con Takuya Murata. Motivados por el trabajo de Harada-Kaveh y el deseo de construir mapas del tipo mapa de momentos a politopos de Newton-Okounkov, estudiamos mapas a variedades tóricas. Como los métodos algebro-geométricos no resultan apropiados, utilizamos los resultados de Mather sobre las estratificaciones de Whitney para obtener un mapa de colapso. Aunque el resultado es más general, nuestra principal aplicación se refiere a las degeneraciones tóricas, donde construimos un mapa de la fibra general a la especial. Además, generalizamos un resultado de Harada-Kaveh que construye un sistema integrable en una variedad proyectiva que admite una degeneración tórica inducida por el mapa de momento en la variedad tórica. Un primer preprint del trabajo está disponible en arxiv:2210.13137.
Martin Schwald , Universität zu Köln.
3:00 pm, 13 de marzo: Deformations of K3 twistor families.
We construct a Hausdorff fine moduli space of K3 families over P^1. In the spirit of the classical K3 theory, we discuss analogs of the Toreli Theorems and the surjectivity of the period map for these families. Our interest originates from K3 twistor families, whose small deformations can be related to complex hyperkähler metrics on K3 surfaces.
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Javier Carvajal, CIMAT-Gto.
3:00 pm, 21 de febrero: Sobre la positividad de la imagen directa de Frobenius en variedades tóricas.
Sea L un haz inversible sobre una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica positiva. Por el gran teorema de Kunz, la imagen directa de L a lo largo de Frobenius es un haz localmente libre. ¿Pero qué se puede decir acerca de su positividad (amplitud, efectividad numérica, grandeza, pseudo-efectividad)? En esta charla abordaré esta pregunta en el caso concreto de variedades tóricas. Esto está basado en trabajo conjunto con Emre Özavci.
Thomas Brazelton , Harvard University
3:00 pm, 28 de febrero: Equivariant enumerative geometry.
Classical enumerative geometry asks geometric questions of the form ?how many?? and expects an integral answer. For example, how many circles can we draw tangent to a given three? How many lines lie on a cubic surface? The fact that these answers are well-defined integers, independent upon the initial parameters of the problem, is Schubert?s principle of conservation of number. In this talk we will outline a program of ?equivariant enumerative geometry?, which wields equivariant homotopy theory to explore enumerative questions in the presence of symmetry. Our main result is equivariant conservation of number, which states roughly that the orbits of solutions to an equivariant enumerative problem are conserved. We leverage this to compute the S4 orbits of the 27 lines on any smooth symmetric cubic surface.
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5:00 pm, 14 de junio: De la representabilidad sobre los números complejos de los matroides simplécticos de rango 2.
Consideramos como ingredientes una Grassmanniana simpléctica de líneas SpG(2,2n) sobre los números complejos (con n al menos 2) y una clase L en su grupo de homología entera. Nos interesa encontrar las subvariedades algebraicas (subesquemas cerrados enteros) de SpG(2,2n) homólogas a L, pero que también sean invariantes bajo la acción del toro máximo de SpG(2,2n).
Este problema está gobernado por objetos combinatorios llamado matroides simplécticos de rango 2 en 2n etiquetas, pero no todos ellos aparecen en este problema; los que sí aparecen se dicen ser representables sobre los números complejos, y caracterizarlos es un problema importante en geometría algebraica y en teoría de matroides.
En esta plática daremos la caracterización de los matroides simplécticos de rango 2 que son representables sobre los números complejos, usando que SpG(2,2n) aparece como una sección lineal de la Grassmanniana de líneas G(2,2n).
Estos resultados son parte de un trabajo conjunto con Pedro Luis del Ángel, Javier Elizondo, y Felipe Zaldívar.
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Gabriela Guzman, CIMAT-Gto.
5:00 pm, 17 de mayo: Estructuras coalgebraicas en teoría de A1-homotopía racional.
En la teoría de homotopía racional formalmente la clase de equivalencias débiles es incrementada por la colección de aplicaciones que inducen un isomorfismo en (co)homología singular con coeficientes racionales. Los trabajos de Quillen, Sullivan y Goerss muestran que dicho proceso, conocido como localización, permite dar una descripción completamente algebraica de ciertas subcategorías de la categoría de espacios racionales. En otras palabras es posible construir funtores fielmente plenos de dichas subcategorías a una
categoría de homotopía con estructura algebraica.
En esta charla describiré un problema análogo para la teoría de A1-homotopía de k-esquemas lisos, donde el rol del intervalo [0, 1] lo juega la línea afín A1. En este contexto tenemos dos candidatos que juegan el papel de la homología singular, A1-homología estudiada ampliamente por Morel
entre otros y la homología de Suslin introducida por Suslin y Voevodsky. Particularmente extenderemos en este contexto los trabajos de Goerss en
términos de coálgebras.
Pedro H. Rizzo, Universidad de Antioquia.
5:00 pm, 31 de mayo: Sobre el espacio moduli de series lineales límite: avances y nuevo enfoque.
En esta charla pretendo mostrar los avances más recientes hacia la construcción
de una nueva noción de serie lineal límite, llamada serie lineal límite continua,
sobre curvas de tipo compacto de dos componentes. Esto con el principal objetivo de construir un espacio de moduli proyectivo que los parametrice y que responda de manera consistente a los principales resultados ''esperados'' relacionados a estos espacios (inspirados en lo que ocurre para el moduli de series lineales). Esto es un trabajo en progreso con Eduardo Esteves (IMPA, Brasil) y Antonio Nigro (UFF, Brasil).
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Jorge Olivares, CIMAT - Guanajuato.
5:00 pm, 26 de abril: Foliaciones con singularidades aisladas en superficies de
Hirzebruch.
Estudiaremos foliaciones F en superficies de Hirzebruch S r, r > 0 .
Haremos uso de la estructura tórica de S r para mostrar que,
de manera similar a aquellas en el plano proyectivo, cualquier foliación F puede
ser representada a través de una $1$-forma polinomial afín, ahora bi-homogénea.
En el caso en el que F tiene singularidades aisladas, probaremos que, cuando r=1,
el esquema de puntos singulares o esquema singular
de F determina unívocamente a la foliación (salvo algunas excepciones que
describiremos), como es el caso de las foliaciones en el plano proyectivo. Para r distinto de 1,
mostraremos que el esquema singular de F no determina a la foliación. Sin embargo,
mostraremos que, en la mayoría de los casos, dos foliaciones F
y F', dadas por secciones s y s', tienen el mismo esquema singular si y sólo
si s' = f(s), para algún endomorfismo global f del fibrado tangente de S r
Este es un trabajo conjunto con Carlos Galindo (Castellón) y Francisco Monserrat (Valencia).
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5:00 pm, 15 de marzo: Automorfismos de superficies cuárticas y transformaciones de Cremona.
Superficies K3 son caracterizadas por tener una 2-forma racional que no se anula en ningún lugar e irregularidad igual a cero. Superficies cuárticas suaves en P 3 son ejemplos de tales superficies. Dada una cuártica S, Gizatullin se interesó en cuáles automorfismos de S son inducidos por transformaciones de Cremona de P 3. Más tarde, Oguiso respondió esto para algunos ejemplos interesantes y planteó la siguiente pregunta natural:
¿Es cualquier automorfismo de orden finito de una cuártica suave en el 3-espacio proyectivo inducido por una transformación de Cremona?
En esta charla, daremos una respuesta negativa a esta pregunta construyendo una superficie cuártica suave S con número de Picard 2, tal que Aut(S) no es finito y éste contiene una involución que no es inducida por un elemento de Bir(P 3). Más precisamente, probaremos que ningún elemento de Aut(S) es inducido por un elemento de Bir(P 3). Esta es una colaboración con Ana Vitoria M Quedo.
Adolfo Guillot, IMUNAM - Ciudad Universitaria.
5:00 pm, 29 de marzo: Campos de funciones en espacios de foliaciones y aplicaciones asociadas a invariantes locales.
Algunos objetos de estudio de los sistemas dinámicos
complejos (foliaciones algebraicas, aplicaciones polinomiales y
racionales, campos de vectores polinomiales) vienen en familias parametrizadas
por variedades algebraicas. Además, para ellos, la noción natural de
equivalencia está dada por la acción algebraica de un grupo
algebraico. Desafortunadamente, la teoría geométrica de invariantes se
ha mostrado poco adaptada para el estudio de estos objetos. Ha
resultado conveniente usar ciertas funciones invariantes (definidas en
las variedades que parametrizan a las familias) construidas a partir de
objetos definidos en puntos especiales (e.g. las derivadas en los
puntos fijos de aplicaciones). En general, tenemos más preguntas que
respuestas. Hablaré de algunos resultados, tanto propios como ajenos,
incluyendo los de un trabajo en colaboración con Valente Ramírez.
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5:00 pm, 15 de febrero: Deformations of Varieties of General Type.
We study complex analytic deformations of
smooth, projective, algebraic varieties of general type. We show that
although such deformations need not be projective, they behave very much
like projective deformations.
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5:00 pm, 7 de diciembre: On the unirationality of quadric bundles
An variety X over a field is unirational if there is a dominant rational
map from a projective space to X.
We will prove that a general quadric bundle, over a number field, with
anti-canonical divisor of positive volume and discriminant of odd degree
is unirational, and that the same holds for quadric bundles over an
arbitrary infinite field provided that they have a point and that their
dimension is at most five.
As a consequence we will get the unirationality of any smooth 4-fold
quadric bundle over the projective plane, over an algebraically closed
field, and with discriminant of degree at most 12.
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5:00 pm, 16 de noviembre: Rigidity of moduli spaces.
Algebraic geometry contains an abundance of miraculous constructions. Examples include ``resolving the quartic''; the existence of 9 flex points on a smooth plane cubic; the Jacobian of a genus g curve; and the 27 lines on a smooth cubic surface. In this talk I will explain some ways to systematize and formalize the idea that such constructions are special: conjecturally, they should be the only ones of their kind. I will state a few of these many (mostly open) conjectures. They can be viewed as forms of rigidity (a la Mostow and Margulis) for various moduli spaces and maps between them.
Hugo Torres, CONACYT - UAZacatecas
5:00 pm, 30 de noviembre: Estabilidad de los haces de syzygies en superficies algebraicas.
Sea L un haz globalmente generado sobre una variedad proyectiva lisa. El haz de Syzygy, denotado por M_L, se define como el kernel del morfismo de evaluación. Los haces M_L han sido estudiados desde diferentes puntos de vista ya que tiene una estrecha relación con las variedades de Brill-Noether, la conjetura de la resolución maximal, la estabilidad del tangente del proyectivo restringido a la variedad, entre otros.
En esta plática hablaremos sobre la estabilidad del haz de syzygies sobre superficies algebraicas. En particular, veremos que M_L es estable para superficies de Hirzebruch, del Pezzo y Enriques. Este es un trabajo en conjunto con Alexis García Zamora (artículo).
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Evento presencial: Jornadas del seminario nacional de geometría algebraica
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5:00 pm, 24 de agosto: Congruences of lines and Cremona involution. (Video)
A congruence of lines is an irreducible surface in the Grassmann variety of lines in $P^3$.
Since Kummer, the study and the classification of congruences of lines has been a favorite subject of differential and algebraic geometers. I will give a brief introduction of the theory of congruences and consider with more details congruences of order one and two that lead to some interesting constructions of Cremona involutions of $P^3$
Margarita Castañeda, UAZacatecas
5:00 pm, 31 de agosto: Clasificación de fibraciones con cinco fibras singulares.
Dada una fibración semiestable, no isotrivial con base una curva racional es conocido que admiten al menos cinco fibras singulares. En esta plática nos enfocaremos a fibraciones que se obtienen de la explosion del lugar base de un pincel sobre una superficie minimal S.
Analizaremos el divisor adjunto a una fibra, veremos que su autointersección es cero excepto cuando S es racional y el género es a lo más 17. Además, a partir de la gonalidad de la fibra general daremos una clasificación para fibraciones con cinco fibras singulares en el caso en que S es racional y divisor adjunto a la fibra big. Este trabajo está en proceso en conjunto con Alexis Zamora.
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Otto Romero Germán, CIMAT - Gto
5:00 pm, 1 de junio: Sobre coamibas de algunas curvas complejas
Dada una curva compleja V en el toro algebraico (C*)^2 podemos estudiar V usando sus argumentos (coamiba) y los módulos (amiba). En esta plática repasaremos estos conceptos y algunas de sus propiedades, dando varios ejemplos con curvas singulares y no singulares.
Principalmente consideraremos la familia de curvas dadas por preimágenes de la familia de polinomios P(z,w)=z^n + w^m con n,m enteros positivos. Veremos que, quitando algunos puntos en las curvas, uno puede tener una descripción combinatoria de la curva a través de sus respectiva coamiba. La monodromía periódica de la singularidad (para n>1, m>1) se traduce en una monodromía en las coamibas.
Última charla del semestre
Claudia Reynoso Alcántara, U de Guanajuato
5:00 pm, 8 de junio: Sobre pinceles de curvas planas con un punto base.
La clasificación de pinceles de curvas planas es un problema clásico y fascinante. Hay muchos trabajos al respecto, donde se ha estudiado desde muchos puntos de vista.
Le idea de la charla es hablar un poco sobre los pinceles que tienen un único punto base; su clasificación, hasta donde sabemos, está lejos de estar terminada. Comentaremos algunos puntos de vista, como GIT, o su estudio a través de la foliación que definen y, por supuesto, su relación con el famoso problema de Poincaré. Finalmente veremos algunos ejemplos, en los que se han hecho cálculos del género de la fibra y el conjunto singular de la foliación que definen, los cuales resultan muy interesantes. Éste es un trabajo en proceso, hecho en conjunto con Alexis Zamora.
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Diosel López, IMUNAM - Ciudad Universitaria.
5:00 pm, 11 de mayo: Cohomología motívica de variedades algebraicas singulares
La idea original de cohomología motívica como una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas se debe principalmente a A. Grothendieck. Esta debe ser una teoría que juegue el mismo papel en geometría algebraica como la cohomología singular en topología algebraica. En este sentido, inspirado por la cohomología singular, S. Bloch define los grupos de Chow superiores en términos de ciclos algebraicos, los cuales describen completamente a la cohomología motívica en el caso de variedades lisas.
A pesar de que los grupos de Chow superiores están definidos para variedades singulares, estos no conforman una teoría de cohomología, sino una teoría de homología de Borel Moore. Usando el criterio de extensión de funtores de Guillén-Navarro, M. Hanamura extiende la definición de cohomología motívica al caso de variedades singulares, vía hiperresoluciones cúbicas. En esta charla, haremos un bosquejo de la construcción, veremos también su relación con otras teorías de cohomologías absolutas vía reguladores. Al final revisaremos algunos ejemplos explícitos.
5:00 pm, 25 de mayo: Geometry of vertex operator algebras on moduli of curves.
The physically-inspired theory of conformal blocks allows one to construct vector bundles on moduli spaces of curves with remarkable geometric and combinatorial properties. This theory uses as input the representations of some non-commutative algebras. A classical example is provided by the representations of affine Lie algebras, and the resulting vector bundles have been studied at great length in the last thirty years, yielding extraordinary insights on moduli spaces of curves. In this talk, I will present how some fundamental results of the classical theory of conformal blocks extend to the more general setting provided by replacing affine Lie algebras with vertex operator algebras. Specifically, I will discuss an extended factorization property and new cohomological field theories. This is joint work with Chiara Damiolini and Angela Gibney.
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5:00 pm, 20 de abril: The rational Chow rings of M7, M8 and M9 (VIDEO)
The rational Chow ring of the moduli space M g of curves of genus g is known for g up to 6. In each of these cases, the Chow ring is tautological (generated by certain natural classes known as kappa classes). In joint work with Sam Canning, we prove that the rational Chow ring of M_g is tautological for g = 7, 8, 9, thereby determining the Chow rings by earlier work of Faber.
In this talk, I will give an overview of our approach, with particular focus on the locus of tetragonal curves (special curves admitting a degree 4 map to P 1).
Manuel Valdespino, CCM- UNAM
5:00 pm, 27 de abril: Deformaciones de curvas trigonales con invariante de Maroni fijo
La teoría de deformaciones es una herramienta muy útil al realizar un estudio
local de los problemas móduli. Un ejemplo de esto surge al caracterizar el
espacio tangente al espacio móduli de curvas de género g, Mg, en la clase de
una curva C, como Def1(C) = T_Mg,[C] = H^1(C, TC).
Un problema interesante nace al tratar de caracterizar los vectores tangentes
(deformaciones) de una curva C, que a su vez sean tangentes a una subvariedad
X de Mg, es decir, caracterizar al subespacio T_X,[C] < H^1(C, TC).
En esta plática nos enfocaremos en el estudio de espacios tangentes a algunas
subvariedades de Mg, tales como el espacio móduli de curvas trigonales, Tg, así
como sus subvariedades definidas mediante el invariante de Maroni. Para esto
se dará un breve repaso de conceptos como superficies de Hirzebruch, invariante
de Maroni de una curva trigonal, deformaciones de morfismos, entre otros.
La plática tendrá un enfoque panorámico, y se dará una motivación de este
problema mediante el estudio de la aplicación de periodos (morfismo de Torelli).
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Abel Castorena, CCM - UNAM-Morelia.
5:00 pm, 9 marzo: Back to the classics: La demostración de Lazarsfeld del teorema de Petri y lo que hay en el camino. (VIDEO)
En esta charla panorámica se presentará la demostración de un teorema fundamental en la teoría de haces lineales sobre curvas. Esta demostración se debe a Lazarsafeld, quien por medio del estudio de curvas en superficies K3 y haces vectoriales demuestra de una manera muy bonita el teorema de Petri también conocido como teorema de Gieseker-Petri.
Debido a que la demostración contiene partes técnicas, se explicarán solo algunos detalles de la prueba, y si el tiempo lo permite se comentará al final algunos problemas abiertos relacionados con este círculo de ideas.
4:00pm, 30 marzo: Variedades Calabi-Yau en la teoría de cuerdas --un ejemplo. (VIDEO)
Una manifestación de la teoría de cuerdas es la dualidad entre la llamada "teoría eterótica'' (variedad Calabi-Yau de dimensión tres con dos fibrados con grupo estructural E_8) y "teoría F" (variedad Calabi-Yau de dimensión cuatro). Presentaré un ejemplo de esta dualidad, siguiendo la simetría E_8 en el momento del "big bang" que se quebró poco después a la simetría del subgroupo SU(5)xSU(5) y poco después de eso a la simetría del subgroupo SU(3)xSU(2)xU(1)xSU(5)--la simetría del modelo estandard: fuerza fuerte x fuerza débil x fuerza electro-magnética x gravedad.
La geometría del ejemplo se deriva del grupo de Weyl asociado al algebra de Lie su(5). (Trabajo junto con el físico Stuart Raby.)
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5:00pm , 23 febrero: (-1)-curves in Pr. (VIDEO)
We will review some ways to generalize (-1)-curves on surfaces to higher dimensions, and also review the Coxeter Group theory that applies to standard Cremona transformations based at points, and how the Weyl group is represented in the Chow ring. The goal is to better understand criteria for when a general (-1)- curve is a Cremona image of a line, and to apply these ideas to the Mori Dream Space cases of P r blown up at points. This is joint work with Olivia Dumitrescu from UNC-Chapel Hill.
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Miguel Prado, Boston College.
4:00pm, 1 diciembre: Diferenciales abelianas y teoría de intersección en curvas racionales.
Veremos como contar cuántas diferenciales abelianas sobre P1 con un único cero y varios polos existen si fijamos los órdenes y los residuos de los polos. Este problema fue planteado por Gendron y Tahar quienes solucionaron varios casos usando geometría plana. En la charla replicaremos y expandiremos sus resultados utilizando teoría de intersección en curvas racionales estables con puntos marcados.
Última charla del semestre
4:00 pm, 8 diciembre: The cohomology of a general tensor product of stable bundles on the plane.
In this talk, I will explain how to compute the cohomology of the tensor product of two general stable bundles on the plane.
Let V and W be two stable bundles general in their moduli. Assume that the numerical invariants of W are sufficiently divisible. Using recent advances in the Minimal Model Program for moduli spaces, we completely compute the cohomology of the tensor product of V and W. In particular, when W is exceptional, we show that the tensor product of V and W has at most one nonzero cohomology group, generalizing foundational results of Drézet, Göttsche and Hirschowitz. We also characterize when the tensor product of V and W is globally generated. This is joint work with Jack Huizenga and John Kopper.
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Charla panorámica
1:00pm , 10 noviembre: Enumeration in geometry. (VIDEO)
Enumeration of geometric objects verifying some specific properties is an old and venerable subject. In this talk I will start by briefly reviewing some of its history and problems. In the last decades, enumerative geometry saw the flourishing of new problems and underwent a tremendous change of perspective and a spectacular progress, with the introduction of extremely refined new mathematical ideas and tools which launched unexpected bridges between different parts of mathematics. This has been due also, sometimes mainly, to the input of questions coming from physics. New insights have also been provided by discretization methods in algebraic geometry introduced by the so--called tropical mathematics, which, by the way, has quite interesting applications in phylogenetics. Being impossible to present all this material in a one hour talk, I will limit myself to give general information on some aspects of these topics, the ones which are closer to my own research and (limited) knowledge.
4:00 pm, 17 noviembre: Enumerating equations equivariantly. (VIDEO)
Given a hypersurface, can we find a method of determining how many times it arises (up to projective isomorphism) in families of hypersurfaces? This general question has irritated me and my collaborators (A. Deopurkar, M. Lee, H. Spink, D. Tseng) for some time, and in this talk I will sketch our current, infinitesimal progress.
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4:00pm, 13 octubre: Some problems concerning curves in projective three space. (Notes)
I will discuss some open problems concerning curves, together with examples, and ideas about how to study the problems.
Montserrat Vite Escobedo, UNAM-Oaxaca.
4:00 pm, 27 octubre: Algunas familias de curvas en el espacio proyectivo y su geometría birracional.
La geometría de los esquemas de Hilbert y, en particular, las familias de curvas en el espacio proyectivo puede tener comportamientos patológicos. Debido a esto, a pesar de ser ampliamente estudiadas, no existen teoremas generales que analicen su geometría birracional. Sin embargo analizar la geometría birracional de estas familias en casos particulares es un tema de interés actual.
Esta charla reportará investigación sobre la geometría de algunas familias de curvas en el espacio proyectivo; especialmente sobre la familia de curvas de grado 6 y género 3. La motivación para estudiar esta familia nace de la teoría de enlaces. Discutiremos brevemente, algunos aspectos de esta teoría y su posible relación con la geometría birracional.
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Leticia Brambila Paz, CIMAT-Gto.
4:00pm, 1 septiembre: El haz de Picard generalizado. (VIDEO)
En esta plática presentaré unos de los resultados que, junto con Indranil Biswas y Peter Newstead, demostramos sobre la estabilidad, deformaciones y el espacio móduli del haz de Picard generalizado --llamado también la transformada de Fourier-Mukai.
Juan Vásquez Aquino, CIMAT-Gto.
4:00 pm, 15 septiembre: Cohomología del cociente GIT de cuárticas planas. (VIDEO)
En esta charla presentaré las técnicas de Kirwan para calcular la cohomología racional de cocientes GIT, los cuales consisten en cálculos de cohomología racional equivariante de diversos estratos así como la cohomología de una desingularización parcial del cociente en caso de ser singular. Presentaré los resultados obtenidos para el cociente GIT de cuárticas planas.
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4:00pm, 18 agosto: La conjetura del rango maximal y la dimensión de Kodaira de los espacios de módulos de curvas. (VIDEO)
Los geómetras clásicos estudiaron espacios de módulos de curvas de géneros bajos que son racionales y pensaban que lo mismo debía ser cierto para todos los géneros. Harris, Mumford y Eisenbud demostraron a inicios de los años 80 que para género al menos 23, los espacios de módulos de curvas están tan lejos como es posible de ser racionales. Durante mucho tiempo se pensó que 23 era el numero mágico separando el tipo de comportamiento de espacios de módulos. Resultados recientes demuestran que los géneros 21 y 22 también tienen dimensión de Kodaira maximal. La demostración de esto utiliza divisores del espacio de módulos definidos de forma geométrica en términos de las aplicaciones de las curvas en un espacio proyectivo.
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4:00pm, 2 junio: The rank of syzygies of canonical curves. (VIDEO)
The classical work of Petri tells us that a canonical curve is an intersection of quadrics (with some exceptions) and, moreover, the theorem of Max Noether tells us how many such quadrics are needed to generate the ideal of the curve. It is natural to ask what one can say about these quadrics, and, indeed, in important work by Andreotti-Mayer in the 60s and Green in the 80s, it is established that the ideal is always generated by quadrics of rank four. Following Green's philosophy that one should generalize the classical work on the ideal of a projective variety to a study of the minimal free resolution of the ideal, we will show how to define a notion of rank for any linear syzygy. We then generalize Andreotti-Mayer-Green's result by proving that all linear syzygy spaces of a canonical curve are spanned by syzygies of the minimal possible rank.
3:00 pm, 16 junio: Fullness of exceptional collections via stability conditions - A case of study: the quadric threefold. (VIDEO)
A powerful tool of investigation of Fano varieties is provided by exceptional collections in their derived categories. In general, proving the fullness of such a collection is a hard problem, often done on a case-by-case basis, with the aid of a deep understanding of the underlying geometry. Likewise, when an exceptional collection is not full, it is not straightforward to determine whether its residual category is the derived category of a variety.
Taking after Bondal and Orlov, we examine two cases: the case of quadric hypersurfaces in P n+1 and the case of the index 2 Fano threefold Y (the generic intersection of two quadrics in P 5. In the first case, we prove that the classical result by Kapranov on the fullness of the standard exceptions is equivalent to the existence of a numerical stability condition on the residual category of the exceptional collection of the quadric. In the second case, we show how the same technique recovers the equivalence of the residual category of the exceptional collection {O Y,O Y(1)} with the derived category of a genus 2 curve. This is joint work with Domenico Fiorenza.
Última charla del semestre
4:00 pm: 30 de junio, Puntos de torsión sobre curvas hiperelípticas y ecuación de Pell-Abel
Las curvas hiperelípticas son recubrimientos ramificados de grado dos de la recta proyectiva. En el complemento de los puntos de ramificaciones, la preimagen de un punto consta de dos puntos distintos que se nombran p y q. La diferencia p-q es de r-torsión si existe una función que tiene un cero de orden r en p y un polo de orden r en q (y no otras singularidades).
La búsqueda de curvas hiperelípticas definidas sobre los racionales con puntos de r-torsión es un problema de importancia que todavía no se ha resuelto en general, y el objetivo de la charla es el resolverlo sobre números complejos (y de hecho reales). Mas precisamente, se mostrará que este problema es equivalente a resolver la ecuación de Pell-Abel y esto permitirá caracterizar los enteros r tales que existe una curva hiperelíptica definida sobre los complejos con puntos de r-torsión. El resultado obtenido permite formularnos nuevas preguntas respecto a este problema sobre los racionales. Esta charla se basará principalmente en el articulo arXiv:2010.09915.
Charla panorámica
4:00pm, 5 mayo: K3 curves: results and problems. (VIDEO)
I will give an overview of some of the results known about K3 curves, i.e. those curves that can be realized as a hyperplane sections of a K3 surface. I will focus on those results which involve the so-called Wahl map, from the nowadays classical work of Wahl and Beauville-Merindol, up to the most recent work on the subject by several authors.
4:00 pm, 12 mayo: Cayley-Bacharach theorems and measures of irrationality. (VIDEO)
If Z is a set of points in projective space, we can ask which polynomials of degree d vanish at every point in Z. If P is one point of Z, the vanishing of a polynomial at P imposes one linear condition on the coefficients. Thus, the vanishing of a polynomial on all of Z imposes |Z| linear conditions on the coefficients. A classical question in algebraic geometry, dating back to at least the 4th century, is how many of those linear conditions are independent? For instance, if we look at the space of lines through three collinear points in the plane, the unique line through two of the points is exactly the one through all three; i.e. the conditions imposed by any two of the points imply those of the third.
In this talk, I will survey several classical results including the original Cayley-Bacharach Theorem and Castelnuovo's Lemma about points on rational curves. I'll then describe some recent results and conjectures about points satisfying the so-called Cayley-Bacharach condition and show how they connect to several seemingly unrelated questions in contemporary algebraic geometry relating to the gonality of curves and measures of irrationality of higher dimensional varieties.
4:00 pm: 26 de mayo,
Cancelada.
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