Minicurso de Geometría Algebraica Derivada
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Logística
Hubo un cambio de horario y de salón: nos reuniremos los jueves del 15 de marzo al 12 de abril, excepto el 29 de marzo, de las 12pm a la 2:30pm en la Sala 2 del edficio nuevo del Instituto de Matemáticas de la UNAM en CU.
Se les pide a los asistentes que por favor llenen1 un cuestionario sobre conceptos preliminares.
Descripción
La geometría algebraica derivada es una nueva versión de la geometría algebraica que modifica las definiciones básicas para volverlas “más homotópicas”.
La geometría algebraica (desde Grothendieck) basa sus definiciones en la noción de gavilla de anillos conmutativos. En la geometría algebraica derivada en lugar de usar anillos conmutativos se usan objetos similares pero con una teoría de homotopía no trivial; los ejemplos principales son álgebras diferenciales graduadas conmutativas, anillos simpliciales conmutativos y anillos espectro \(E_{\infty}\).
La noción de gavilla realmente solo funciona bien cuando los objetos a los que se aplica están definidos salvo isomorfismo. Pero los productos tensoriales (derivados) de los sustitutos de anillos conmutativos solo están definidos salvo quasi-isomorfismo o equivalencia homotópica. En esa situación la noción categórica de gavilla es demasiado rígida y la geometría algebraica derivada la cambia también por una versión “más homotópica”, y de hecho, cambia toda la teoría de categorías por una versión “más homotópica”: la teoría de ∞-categorías, que se puede describir aproximadamente como lo que se obtiene de modificar la teoría de categorías para que en lugar de conjuntos de morfismos tenga espacios de morfismos y que de éstos solo importe su tipo de homotopía.
Bibliografía
Material introductorio
A Whirlwind Tour of the World of (∞,1)-categories
Hace un años escribí una introducción accesible a las ∞-categorías y sus aplicaciones, incluyendo la geometría algebraica derivada.
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Un artículo que escribí para la revista universo.math que es más breve y tiene aún más carácter de divulgación, pero toca muchos de los mismos temas.
Teoría de ∞-categorías
Higher Topos Theory, Higher Algebra
Los libros de Jacob Lurie. Incluso si el grueso del texto puede parecer difícil, las introducciones de cada capítulo son excelentes y muy accesibles.
∞-categories for the Working Mathematician
Un borrador del libro texto de Emily Riehl y Dominic Verity. Adopta un enfoque axiomático hacia la teoría de ∞-categorías. Sorprendentemente, buena parte de la teoría se desarrolla a nivel 2-categórico.
∞-category theory from scratch
Notas de Emily Riehl de un curso que dió sobre su trabajo con Dominic Verity acerca del enfoque axiomático a la teoría de ∞-categorías. Las menciono también porque son más cortas que el libro de arriba. En la página de Riehl también pueden encontrar los artículos en los que estas notas y el libro están basados.
- Stuff about quasicategories. Notas de un curso de Charles Rezk.
Chapter I.1: Some higher algebra
La primer sección de preliminares en el libro A Study in Derived Algebraic Geometry de Dennis Gaitsgory y Nick Rozenblyum. Promueve la idea de usar la teoría de ∞-categorías como caja negra.
Geometría algebraica derivada
La tesis de doctorado de Jacob Lurie
Probablemente resultará menos intimidante que sus libros posteriores.
- What is a derived stack? y A note on the cotangent complex in derived algebraic topology de Gabriele Vezzosi.
- Homotopical algebraic geometry II: geometric stacks and applications de Bertrand Toën y Gabriele Vezzosi.
- From HAG to DAG: derived moduli spaces de Bertrand Toën y Gabriele Vezzosi.
- Higher and derived stacks: a global overview y Derived Algebraic Geometry de Bertrand Toën.
Chapter I.2: Basics of derived algebraic geometry y Chapter I.3: Quasi-coherent sheaves on prestacks
El resto de la parte de preliminares del libro A Study in Derived Algebraic Geometry de Dennis Gaitsgory y Nick Rozenblyum.
“Aplicaciones”
Moduli problems for ring spectra
El texto de la plática de Jacob Lurie en el ICM del 2010 sobre teoría de deformación y dualidad de Koszul. Una versión detallada con demostraciones completas apareció después como DAG X: Formal moduli problems.
- Loop spaces and Langlands parameters de David Ben-Zvi y David Nadler
- Integral Transforms and Drinfeld Centers in Derived Algebraic Geometry de David Ben-Zvi, David Nadler y John Francis.
Algebraic K-Theory and Descent for Blow-ups
Un artículo de Moritz Kerz, Florian Strunk y Georg Tamme que cuenta como aplicación honesta: prueban la conjetura de Weibel acerca de la anulación de teoría K de esquemas en grados suficientemente negativos, algo que no menciona conceptos derivados, y usan geometría algebraica derivada, particularmente blow-ups derivados, en la prueba.
Conjuntos simpliciales
Por si no los conocen ya y necesitan desarrollar intuición en poco tiempo.
Si recibieron un correo electrónico sobre un cuestionario, no se preocupen: es el mismo.