Imágenes Directas e Inversas

Definición 2   Sea $R$ una relación entre $A$ y $B$.

1. Si $X$ es un subconjunto de $A$ denotamos como $R(X)$ a la imagen directa de $X$ por $R$ definida como el conjunto de los elementos $b$ de $B$ con la propiedad de que existe $a$ en $X$ tal que $a$ está $R$-relacionada con $b$, es decir,
   $$R(X):=\{ b\in B\mid$$   existe$$\; a \in X \;$$tal que$$\; aRb \}$$

2. Si $Y$ es un subconjunto de $B$ denotamos como $R^{-1}(Y)$ a la imagen inversa de $Y$ por $R$ definida como el conjunto de los elementos $a$ de $A$ con la propiedad de que existe $b$ en $Y$ tal que $a$ está $R$-relacionada con $b$, es decir,
   $$R^{-1}(Y):=\{ a\in A\mid$$   existe$$\; b \in Y \;$$tal que$$\; aRb \}$$

Si $X$ y $Y$ son singuletes, $X=\{a\}$ y $Y=\{b\}$ para algunos $a\in A$ y $b\in B$, denotamos $R(a)$ y $R^{-1}(b)$ en lugar de $R(\{a\})$ y $R^{-1}(\{b\})$, respectivamente y llamamos a estos conjuntos la imagen directa de $a$ por $R$ y la imagen inversa de $b$ por $R$, respectivamente.

También, si $R$ es una relación entre $A$ y $B$ definimos el dominio de $R$ como la imagen inversa de $B$ por $R$, y definimos la imagen de $R$ como la imagen directa de $A$ por $R$. Estos conjuntos son denotados respectivamente como $D_R$ e $I_R$.

Ejemplos.

1. Relación de pertenencia Si $A$ es un conjunto y $a\in A$, la imagen directa de $a$ por la relación de pertenencia $\in_A$ es igual al conjunto de los subconjuntos de $A$ que tienen $a$ por elemento:
   $$\in_A(a)=\{X\in \P (A)\mid a\in X\}.$$

   Del mismo modo, si $X\in\P (A)$, la imagen inversa de $X$ por la relación de pertenencia $\in_A$ es igual al conjunto $X$:

   $$\in_A^{-1}(X)=\{a\in A\mid a\in X\}=X.$$

2. Relación de contención. Si $A$ es un conjunto y $X\in\P (A)$, la imagen directa de $X$ por la relación de contención $\subseteq _A$ es igual al conjunto de los subconjuntos de $A$ que contienen a $X$:
   $$\subseteq _A(X)=\{Y\in\P (A)\mid X\subseteq _A Y\}.$$

   Del mismo modo, si $Y\in\P (A)$, la imagen inversa de $Y$ por la relación de contención $\subseteq _A$ es igual al conjunto potencia de $Y$:

   $$\subseteq _A^{-1}(Y)=\{X\in\P (A)\mid X\subseteq _A Y\}=\P (Y).$$

3. Orden en $\mathbb{N}$. Si $n$ es un número natural, la imagen directa de $n$ por la relación $\leq$ es igual al conjunto de los números naturales que son mayores o iguales que $n$:
   $$\leq(n)=\{n,n+1,\dots\}.$$

   Del mismo modo, si $m$ es un número natural, la imagen inversa de $m$ por la relación $\leq$ es igual al conjunto de los números naturales que son menores o iguales a $m$:

   $$\leq^{-1}(m)=\{0,1,\dots,m-1,m\}.$$

4. Divisibilidad en $\mathbb{N}$. Si $n$ es un número natural, la imagen directa de $n$ por la relación de divisibilidad $\mid$ es igual al conjunto de los números naturales que son múltiplos de $n$:
   $$\mid (n) =\{0n=0, 1n=n, 2n,\dots\}.$$

   Del mismo modo, si $m$ es un número natural, la imagen inversa de $m$ por la relación de divisibilidad $\mid$ es igual al conjunto de los números naturales que dividen a $m$:

   $$\mid^{-1}(m) =\{n\in\mathbb{N}\mid \; n\mid m\}.$$

   Por ejemplo, puede mostrarse fácilmente que todo número natural divide al 0, es decir, $\mid^{-1}(0) =\mathbb{N}$ y que solamente el $1$ divide al $1$, es decir, $\mid^{-1}(1) =\{1\}$.

   También, puede mostrarse que si $m$ es cualquier número natural diferente de 0, entonces $\mid^{-1}(m)$ es un conjunto que tiene un número finito de elementos, entre los que siempre se encuentran el $1$ y $m$ pero nunca el 0.

   Decimos que un número natural $m$ es primo si $\mid^{-1}(m)$ es un conjunto con exactamente dos elementos. Entonces, $m$ es primo si y sólo si $m$ es diferente de $1$ y $\mid^{-1}(m)=\{1,m\}$