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Relaciones de Equivalencia

Definición 14   Si $ A$ es un conjunto y $ R$ es una relación entre $ A$ y $ A$, decimos que $ R$ es una relación de equivalencia en $ A$ si se cumple que:
  1. $ R$ es reflexiva, es decir, para todo $ a\in A$ se tiene que $ aRa$.
  2. $ R$ es simétrica, es decir, si $ aRb$ entonces $ bRa$.
  3. $ R$ es transitiva, es decir, si $ aRb$ y $ bRc$ entonces $ aRc$.

Notación 2   Si $ R$ es una relación de equivalencia en $ A$ y $ a$ está $ R$-relacionado con $ b$, es decir, $ aRb$, decimos entonces que $ a$ es congruente con $ b$ módulo $ R$ y escribimos:

$\displaystyle a\equiv b \;(\mathrm{mod}\; R)
$

Ejemplos.

  1. Relación de equivalencia identidad. Si $ A$ es un conjunto, la relación identidad $ \mathrm{id}_A$ entre $ A$ y $ A$ es una relación de equivalencia. Realmente, ésta es la relación de equivalencia en $ A$ más pequeña, es decir, está contenida en cualquier otra relación de equivalencia de $ A$.
  2. Relación de equivalencia total. Si $ A$ es un conjunto, la relación total $ A\times A$ entre $ A$ y $ A$ es una relación de equivalencia. Realmente, ésta es la relación de equivalencia en $ A$ más grande, es decir, contiene a cualquier otra relación de equivalencia de $ A$.
  3. Paises en el mundo. Si $ A$ denota al conjunto de todos los seres humanos, definimos la relación:

    $\displaystyle R:=\{(a,b)\in A\times A\mid a \;$vive en el mismo país que$\displaystyle \; b\}.
$

    Entonces, $ R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los seres humanos.

  4. Enteros módulo $ n$. Si $ \mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros, por cada $ n\in \mathbb{N}$ definimos la relación:

    % latex2html id marker 3073
$\displaystyle R_n:=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mid n \;$divide a la diferencia$\displaystyle \;a-b\}.
$

    Entonces, $ R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. En este caso, si $ a$ es congruente con $ b$ módulo $ R_n$, escribimos $ a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; n)$ en lugar de $ a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R_n)$.

  5. El círculo. Si $ \mathbb{R}$ denota el conjunto de números reales, considera la siguiente relación entre $ \mathbb{R}$ y $ \mathbb{R}$:

    % latex2html id marker 3094
$\displaystyle R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid x-y\in \mathbb{Z}\}.
$

    Entonces, $ R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de los números reales y $ x\equiv y\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si la diferencia de $ x$ y $ y$ es un entero.




Sea $ R$ una relación de equivalencia en $ A$. Si $ a\in A$, definimos la clase de equivalencia de $ a$ módulo $ R$ como el conjunto:

$\displaystyle [a]_R:=\{x\in A \mid a\equiv x \;(\mathrm{mod}\; R)\}.
$

Tenemos entonces el siguiente resultado.

Teorema 15   Si $ R$ es una relación de equivalencia en $ A$, entonces:
  1. Para todo $ a\in A$ se tiene que $ a\in [a]_R$ por lo que $ [a]_R\neq
\emptyset$.
  2. Para todo $ a,b\in A$, $ a\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si $ [a]_R=[b]_R$.
  3. Para todo $ a,b\in A$, % latex2html id marker 3135
$ a\not\equiv b\;(\mathrm{mod}\; R)$ si y sólo si $ [a]_R\cap [b]_R=\emptyset$.
  4. % latex2html id marker 3139
$ \underset{a\in A}{\bigcup}[a]_R=A$.

Ejemplos.

  1. Relación de equivalencia identidad. Si $ a\in A$, la clase de equivalencia de $ a$ módulo la relación de equivalencia identidad es igual al singulete $ \{a\}$, es decir,

    $\displaystyle [a]_{\mathrm{id}_A}=\{a\}.
$

    Observa que entonces, el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de $ A$ módulo $ id_A$ puede identificarse con $ A$ mismo.

  2. Relación de equivalencia total. Si $ a\in A$, la clase de equivalencia de $ a$ módulo la relación de equivalencia total es igual al conjunto $ A$, es decir,

    $\displaystyle [a]_{A\times A}=A.
$

    Tenemos entonces que todas las clases de equivalencia módulo $ A\times A$ son iguales, por lo que el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de $ A$ módulo la relación de equivalencia total contiene un único elemento.

  3. Paises en el mundo. Si $ a\in A$, es decir, si $ a$ es un ser humano, la clase de equivalencia de $ a$ módulo la relación de equivalencia de vivir en el mismo pais, es igual al conjunto de todos los seres humanos que viven en el mismo pais que $ a$, es decir,

    $\displaystyle [a]_R=\{x\in A\mid x\;$vieve en el mismo pais que$\displaystyle \;a\}.
$

    Tenemos entonces que el conjunto de las clases de equivalencia de los seres humanos módulo ésta relación puede identificarse con el conjunto de paises que existen.

  4. Enteros módulo $ n$. Si $ a$ es un número entero, la clase de equivalencia de $ a$ módulo la relación de equivalencia $ R_n$ es igual al siguiente conjunto:

    % latex2html id marker 3186
$\displaystyle [a]_{R_n}=\{a+nx\mid x\in \mathbb{Z}\}.
$

    Se puede observar entonces que si $ a , b \in\{0,1,\dots,n-1\}$ entonces $ [a]_{R_n}\neq [b]_{R_n}$ y que cualquier otra clase de equivalencia es igual a alguna de estas, es decir, existen exactamente $ n$ distintas clases de equivalencia módulo $ R_n$, $ [0]_{R_n},
[1]_{R_n}, \dots, [n-1]_{R_n}$.

  5. El círculo En el ejemplo anterior del círculo, si $ a$ es número real, la clase de equivalencia de $ a$ módulo la relación dada es igual al conjunto:

    % latex2html id marker 3202
$\displaystyle [a]_R= \{a+n\mid n\in\mathbb{Z}\}.
$

    Observese entonces que el conjunto de las clases de equivalencia de los números reales módulo esta relación puede identificarse con el círculo.


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Elhoim Sumano (CP) 2003-01-20