Un poco de teoría de categorías

1. Encuentra el coproducto amalgamado de \(\mathbb{R}[x] \hookleftarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}[x]\) en la categoría de anillos conmutativos.
2. ¿Existe el coproducto de \(\mathbb{C}\) consigo mismo en la categoría de campos?
3. Prueba que en la categoría de grupos abelianos, el coproducto amalgamado de \(B \xleftarrow{f} A \xrightarrow{g} C\) es \((B \oplus C)/M\) donde \(M\) es el subgrupo de \(B \oplus C\) dado por \(\{(f(a),-g(a)) : a \in A\}\).

Recuerda que decimos que un objeto \(A\) en una categoría es un retracto de un objeto \(B\) si existen morfismos \(i : A \to B\) y \(r : B \to A\) tales que \(r \circ i = \mathrm{id}_A\). El morfismo \(r\) se llama retracción.

4. Prueba que en la categoría de espacios topológicos el círculo \(S^1\) no es retracto de \(D^2\), el disco de dimensión 2.

5. a) Prueba que en la categoría de grupos abelianos si \(A\) es retracto de \(B\), existe otro grupo abeliano \(C\) y un isomorfismo \(B \cong A \oplus C\).

   b) Prueba que lo anterior es falso en la categoría de todos los grupos, es decir, da un ejemplo de un grupos \(A\) que sea retracto de otro grupo \(B\) pero no exista un grupo \(C\) tal que \(B \cong A \times C\).

6. Sea \(\square\) el «cuadrado conmutativo», es decir, la categoría con cuatro objetos y cinco morfismos no identidad, los cuatro mostrados abajo, junto con \(g \circ f = k \circ h\):

   \[\require{amsCd} \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{h}VV @VV{g}V \\ C @>{k}>> D \end{CD}\]

   Dada cualquier otra categoría \(\mathcal{C}\), la categoría de cuadros conmutativos en \(C\) se define como la categoría de funtores \(\mathcal{C}^{\square} := \mathsf{Fun}(\square, \mathcal{C})\). Decimos que un cuadro conmutativo en \(\mathcal{C}\) es retracto de otro, si eso ocurre pensándolos como objetos en \(\mathcal{C}^{\square}\). Prueba que un retracto de un coproducto amalgamado también es un coproducto amalgamado.