El Teorema de van Kampen

Cálcula el grupo fundamental de las superficies cerradas no orientables. (Todas se pueden obtener como suma conexa de algún número de copias del plano proyectivo real.)

Sea \(\mathbb{T}\) un toro sólido metido en \(\mathbb{R}^3\). Describiremos para cada par de enteros primos relativos \((p,q)\) un nudo \(T_{p,q}\). El próposito de este problema es calcular el grupo fundamental del complemento \(\mathbb{R}^3 \setminus T_{p,q}\) de ese nudo.

El nudo \(T_{p,q}\) es una curva cerrada simple sobre la superficie \(\partial \mathbb{T}\) de \(\mathbb{T}\) que le da \(p\) vueltas al toro en la dirección de los meridianos, digamos, y \(q\) vueltas en la dirección de los paralelos. Más precisamente, recuerda que \(\partial \mathbb{T} \cong S^1 \times S^1\), y si consideramos a \(S^1\) como el conjunto de números complejos de norma \(1\), parametrizamos a \(T_{p,q}\) por medio de \(t \in [0,1] \mapsto (e^{2\pi p t i}, e^{2\pi q t i})\).

Alternativamente, la superficie del toro se puede ver como \(\partial \mathbb{T} \cong \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\) y podemos pensar a \(T_{p,q}\) como la imágen del segmento de recta que une \((0,0)\) con \((p,q)\) en \(\mathbb{R}^2\).

Encuentra una presentación de \(\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus T_{p,q})\).

Prueba que todos estos grupos fundamentales son no isomorfos dos a dos, es decir que si \(\pi_1(\mathbb{R}^{3} \setminus T_{p,q}) \cong \pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus T_{r,s})\) con \(\mathrm{mcd}(p,q) = \mathrm{mcd}(r,s) = 1\), entonces \(\{p,q\} = \{r,s\}\).

Nota: Wertinger describió un método para obtener una presentación del grupo fundamental del complemento de un nudo cualquiera, dado un diagrama plano del nudo. El procedimiento está explicado en el libro Algebraic Topology de Allen Hatcher, en el ejercicio 1.2.22 de la página 55. Recomiendo hacer ese ejercicio (pero no es parte de esta tarea).

Sea \(X\) un complejo simplicial conexo. Toma un árbol generador del 1-esqueleto, digamos \(T\). Prueba que el grupo fundamental de la realización geométrica de \(X\) tiene una presentación como sigue:

Generadores

un generador \(x_{uv}\) por cada par de vértices \(u,v\) de \(X\).

Relaciones

• \(x_{vv} = 1\)
• \(x_{uv} = x_{vu}^{-1}\)
• \(x_{uv} = 1\) si \(\{u,v\} \in T\)
• \(x_{uv} x_{vw} = x_{uw}\) si \(\{u,v,w\} \in X\)

(En particular, nota que el grupo fundamental solo depende de los vértices aristas, y tríangulos en \(X\), no de los simplejos de dimensión mayor).

Sea \(p\) un número primo de laforma \(4k+1\). La gráfica de Paley, \(P_p\) tiene como vértices los elementos de \(\mathbb{Z}/p\) y dos vértices \(x\) y \(y\) están unidos por una arista si y sólo si \(y-x\) es un residuo cuadrático, es decir, si existe un entero \(t\) tal que \(y-x \cong t^2 \pmod{p}\).

(Cuando \(p\) es un primo de la forma \(4k+1\), sucede que \(-1\) es residuo cuadrático módulo \(p\); esto implica que \(y-x\) es residuo cuadrático si y sólo si \(x-y\) lo es, y entonces podemos definir \(P_p\) como gráfica no dirigida.)

Ahora definimos el complejo de Paley, \(\mathcal{P}_p\), como la realización geometrica del complejo simplicial cuyos simplejos son las subgráficas completas de \(P_p\). Si no conocen los complejos simpliciales o sus realizaciones geométricas, no importa, porque aquí viene una descripción explícita del espacio \(\mathcal{P}_p\):

Sea \(e_0, \ldots, e_{p-1}\) la base estándar de \(\mathbb{R}^p\) y para cualquier subconjunto \(S \subset \mathbb{Z}/p\), sea \[E(S) := \{ \sum_{s \in S} \lambda_s e_s : \lambda_s \ge 0, \sum_{s \in S} \lambda_s = 1\},\] el casco convexo de \(\{e_i : i \in S\}\). Podemos definir \(\mathbb{P}_p := \bigcup_{S \in K(P_p)} E(S)\), donde \(K(P_p)\) es la familia de subconjuntos de \(\mathbb{Z}/p\) que inducen subgráficas completas de \(P_p\).

Cálcula el grupo fundamental de \(\mathcal{P}_5\), \(\mathcal{P}_{13}\) y \(\mathcal{P}_{17}\).

(Sugerencia: no necesariamente conviene usar la fórmula del problema anterior, porque al tomar solo un punto base rompen la simetría del problema).