Espacios cubrientes
Fecha de entrega:
- Sea \(f : S^{2} \to \mathbb{R}\) una función continua. Demuestra que existen tres vectores unitarios mutuamente ortogonales \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\) tales que \(f(\mathbf{u}_1) = f(\mathbf{u}_2) = f(\mathbf{u}_3)\).
- ¿Cuántos subgrupos de índice 2 tiene el grupo libre con 2 generadores? Dibuja gráficas para ilustrar tu respuesta.
Sea \(p : Y \to X\) una aplicación cubriente. Recuerda que una función continua \(f : Y \to Y\) tal que \(p \circ f = p\) es un endomorfismo del cubriente \(p\) y que \(f\) es un automorfismo si tiene un endomorfismo que sea su inversa.
a) Si el grupo fundamental de \(Y\) es finito, muestra que cualquier endomorfismo es automáticamente un automorfismo.
b) Da un ejemplo de un cubriente con \(X\) y \(Y\) conexos y un endomorfismo de \(p\) que no sea automorfismo.
c) Describe el grupo de automorfismos de \(p\) en términos de \(G := \pi_1(X, p(y_0))\) and \(H := p_{*}(\pi_1(Y,y_0))\).