Teoremas de van Kampen y Mayer-Vietoris para coproductos amalgamados homotópicos
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Los teoremas de van Kampen y la sucesión de Mayer-Vietoris típicamente se anuncian para cubiertas abiertas, pero también se valen para coproductos amalgamados homotópicos.
Sean \(f : W \to X\), \(g : W \to Y\) dos funciones continuas, sea \(Z = X \sqcup^{h}_{W} Y\) y sean \(i : X \to Z\), \(j : Y \to Z\) los mapas canónicos.
Se vale una versión del teorema de van Kampen para la «cubierta» \(\{X,Y\}\) de \(Z\). Esto quiere decir que el cuadrado de funtores entre grupoides fundamentales, \[\begin{CD} \pi_{\le 1}(W) @>{f_{\ast}}>> \pi_{\le 1}(X) \\ @V{g_{\ast}}VV @V{i_{\ast}}VV \\ \pi_{\le 1}(Y) @>{j_{\ast}}>> \pi_{\le 1}(Z)\\ \end{CD},\] es algo como un coproducto amalgamado.
(a) Prueba que esos grupoides fundamentales se pueden reemplazar por unos equivalentes que sí forman un coproducto amalagamado.
(b) ¿Ese cuadrado es un coproducto amalagamado de grupoides (o realmente es necesario reemplazarlos por otros equivalentes para obtener uno)?
- Prueba que la sucesión de Mayer-Vietoris existe para la «cubierta» \(\{X,Y\}\) de \(Z\). Es decir, prueba que hay una sucesión exacta larga de la siguiente forma: \[ \cdots \to H_{\ast}(W) \xrightarrow{(f_{\ast}, g_{\ast})} H_{\ast}(X) \oplus H_{\ast}(Y) \xrightarrow{i_{\ast} \circ \pi_1 - j_{\ast} \circ \pi_2} H_{\ast}(Z) \xrightarrow{\partial} H_{\ast - 1}(W) \to \cdots\]
La recomendación para ambos ejercicios es la misma: reduce los al caso de cubiertas abiertas que ya conoces inventando una cubierta abierta adecuada para \(Z\).
Finalmente, estas versiones de van Kampen y Mayer-Vietoris para coproductos amalagamados homotópicos generalizan a las usuales.
- Prueba que si \(X = U \cup V\) con \(U\) y \(V\) abiertos, y existe una partición de la unidad continua subourdinada a la cubierta \(\{U,V\}\), entonces \(X\) es homotópicamente equivalente al coproducto amalgamado homotópico de \(U \cap V \hookrightarrow U\) con \(U \cap V \hookrightarrow V\).