1-tipos y grupoides
Se dice que un espacio \(X\) es un \(n\)-tipo o que \(n\)-truncado si para cualquier \(x \in X\) y cualquier \(k>n\), tenemos que \(\pi_k(X,x) = 0\).
Si \(X\) es 1-truncado, no hay información en \(\pi_k(X)\) para \(k \ge 2\), mientras que el grupoide fundamental de \(X\) incluye la información de \(\pi_0(X)\) y todos los \(\pi_1(X,x)\). Resulta que de hecho \(\pi_{\le 1}(X)\) determina el tipo de homotopía de \(X\) cuando \(X\) es un 1-tipo y que la teoría de homotopía de 1-tipos se puede estudiar a través de grupoides.
Definimos \(\mathsf{Top}_{\le 1}\) como la subcategoría plena de \(\mathsf{Top}\) (la categoría de espacios topológicos) con objetos los espacios 1-truncados, y denotamos por \(\mathsf{hoTop}_{\le 1}\) la correspondiente categoría homotópica, que tiene los mismo objetos pero donde los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas.
Denotamos por \(\mathsf{Grp}\) a la categoría de grupoides1 y funtores entre ellos y por \(\mathsf{hoGrp}\) la categoría «homotópica de grupoides», que tiene los mismos objetos, pero donde los morfismos son clases de isomorfismo natural de funtores.
Nótese que si dos grupoides son equivalentes, entonces son isomorfos como objetos de \(\mathsf{hoGrp}\), pero usual no como objetos de \(\mathsf{Grp}\).
Como ya sabemos, \(\pi_{\le 1} : \mathsf{Top} \to \mathsf{Grp}\) envía funciones homotópicas en funtores naturalmente isomorfos, así que induce un funtor \(\mathsf{ho} \pi_{\le 1} : \mathsf{hoTop}_{\le 1} \to \mathsf{hoGrp}\).
El funtor \(\mathsf{ho} \pi_{\le 1} : \mathsf{hoTop}_{\le 1} \to \mathsf{hoGrp}\) es un equivalencia de categorías.
La equivalencia inversa está inducida por la construcción del espacio clasificante de una categoría, esta construcción está dada por un funtor \(B : \mathsf{Cat} \to \mathsf{Top}\) de la categoría de categorías (pequeñas) a la categoría de espacios topológicos con varias propiedades útiles:
- \(B\) preserva productos, \(B(\mathcal{C} \times \mathcal{D}) \cong B\mathcal{C} \times B\mathcal{D}\).
- Dada una transformación natural \(\eta : F \Rightarrow G\) entre funtores \(F, G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), hay una homotopía inducida \(B\eta\) entre las funciones \(BF, BG : B\mathcal{C} \to B\mathcal{D}\).
- Si \(\mathcal{C}\) es un grupoide, \(B\mathcal{C}\) es un 1-tipo con \(\pi_0(B\mathcal{C})\) el conjunto de clases de isomorfismo de objetos de \(\mathcal{C}\), y para cada objeto \(c \in \mathcal{C}\), hay un punto \(c \in B\mathcal{C}\) y tenemos que \(\pi_1(B\mathcal{C}, c) = \mathsf{Aut}_{\mathcal{C}}(c)\).
Advertencia: Si \(\mathcal{C}\) no es un grupoide, \(B\mathcal{C}\) no tiene porque ser un espacio \(n\)-truncado para ninguna \(n\), de hecho, para cualquier espacio \(X\), existe una categoría \(\mathcal{C}\) tal que \(B\mathcal{C} \simeq X\). Por ejemplo, si \(P = \{a_0,a_1\} \times \{0,1,2\}\) con el orden \((a_i,m) < (a_j,n) \iff m < n \) (ignorando la \(i\) y \(j\)), resulta que \(BP \cong S^2\), que no es truncado.
La restricción de \(B\) a grupoides, \(B : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Top}_{\le 1}\), induce un funtor \(\mathsf{ho}B : \mathsf{hoGrp} \to \mathsf{hoTop}_{\le 1}\) que es la equivalencia inversa a \(\mathsf{ho}\pi_{\le 1} : \mathsf{hoTop}_{\le 1} \to \mathsf{hoGrp}\).
Para ser precisos, debemos considerar la categoría de grupoides pequeños, es decir grupoides con un conjunto de objetos y un conjunto de morfismos. Así que \(\pi_{\le 1}(X)\) está incluído, pero por ejemplo, el grupoide de espacios vectoriales reales e isomofismos lineales no, por ser «demasiado grande».