Coproductos amalgados homotópicos

Primero, repasemos los coproductos amalgamados (no homotópicos). Dadas dos funciones continuas \(f : W \to X\) y \(g : W \to Y\) el coproducto amalgamado del diagrama \(X \xleftarrow{f} W \xrightarrow{g} Y\) es el espacio \(Z := (X \sqcup Y)/\!\sim\), donde \(\sim\) es la relación de equivalencia en \(X \sqcup Y\) más pequeña tal que \(f(w) \sim g(w)\) para toda \(w \in W\).

Usaremos la notación \(X \sqcup_{W} Y := Z\) para el coproducto amalgamado. (La notación no muestra la \(f\) y \(g\), pero el resultado ¡sí depende de ellas! Siempre que usen esa notación asegúrense de saber cuales funciones están implícitas). Viene con mapas canónicos \(i : X \to Z\) y \(j : Y \to Z\), donde \(i(x)\) es la clase en el cociente \(Z\) del elemento \(x \in X \sqcup Y\), y análogamente para \(j(y)\).

El cociente está diseñado para que \(i \circ f = j \circ g\) y de hecho tiene la siguiente propiedad universal: dado un cuadrado conmutativo \[\require{amsCd}\begin{CD}W @>f>> X \\ @V{g}VV @V{\ell}VV \\ Y @>{k}>> S\end{CD}\] existe una única \(h : Z \to S\) tal que \(h \circ \ell = i\) y \(h \circ k = j\).

En resumen, \(X \sqcup_{W} Y\) se construye así: «tomamos los puntos de \(X\) y de \(Y\) y para toda \(w \in W\), identficamos \(f(w)\) con \(g(w)\)».

El coproducto amalgamado homotópico del diagrama \(X \xleftarrow{f} W \xrightarrow{g} Y\) es el espacio \(Z' := (X \sqcup Y \sqcup W\times[0,1])/\!\approx\) donde \(\approx\) es la relación de equivalencia más pequeña tal que para toda \(w \in W\), \(f(w) \approx (w,0)\) y \(g(w) \approx (w,1)\).

Noten que ahora \(f(w)\) y \(g(w)\) no son iguales en el cociente, pero sí hay una trayectoria canónica que los une: \(t \mapsto (w,t)\). Usaremos la notación \(X \sqcup_{W}^{h} Y\) para el coproducto amalgamado homotópico.

Otra vez tenemos funciones canónicas \(i' : X \to Z'\) y \(j' : Y \to Z'\) definidas de forma análoga al caso anterior, pero ahora no tenemos que \(i' \circ f = j' \circ g\), solo tenemos una homotopía canónica entre esas composiciones: a saber, \(H : W \times [0,1] \to Z'\) que envía a cada \((w,t)\) en su imagen en el cociente \(Z'\).

Esta construcción tiene una propiedad universal que involcura una homotopía: dadas funciones continuas \(\ell : X \to S\), \(k : Y \to S\) y una homotopía \(Q : W \times [0,1] \to S\) entre \(\ell \circ f\) y \(k \circ g\) (o sea, ahora el cuadrado no es conmutativo sino que es conmutativo salvo homotopía, especifícamente salvo la homotopía \(Q\)), existe una única función \(h : Z' \to S\) tal que \(Q = h \circ H\). ¿Cuál es la fórmula para esa \(h\)?

Hay una función canónica del coproducto amalgamado homotópico al usual, dada por \((w,t) \in Z' \mapsto f(w) = g(w) \in Z\), \(x \in Z' \mapsto x \in Z\) y \(y \in Z' \mapsto y \in Z\).

En resumen, \(X \sqcup_W^h Y\) se construye así: «tomamos los puntos de \(X\) y de \(Y\) y para toda \(w \in W\), conectamos \(f(w)\) con \(g(w)\) por medio de una trayectoria». La función de comparación \(X \sqcup_W^h Y \to X \sqcup_W Y\) simplemente colapsa cada una de esas trayectorias a un solo punto.

Los coproductos amalgamados homotópicos arreglan un defecto importante de los productos amalgamados clásicos: esos no son homotópicamente invariantes, como explicamos a continuación.

Supongamos que tenemos un diagrama conmutativo de espacios y funciones continuas como sigue: \[\begin{CD} B @<<< A @>>> C \\ @VVV @VVV @VVV \\ B' @<<< A' @>>> C' \\ \end{CD}\]

Un diagrama así induce funciones continuas \(B \sqcup_{A} C \to B' \sqcup_{A'} C'\) y \(B \sqcup_A^h C \to B' \sqcup_{A'}^h C'\).

Lo de la invarianza homotópica se refiere al siguiente hecho: si las tres funciones verticales en el diagrama son equivalencias homotópicas, entonces también \(B \sqcup_A^h C \to B' \sqcup_{A'}^h C'\) es una equivalencia homotópica, pero \(B \sqcup_{A} C \to B' \sqcup_{A'} C'\) no necesariamente lo es.

El ejemplo clásico es el siguiente diagrama de esferas, discos y puntos: \[\begin{CD} \ast @<<< S^{n} @>>> D^{n+1 }\\ @VVV @VVV @VVV \\ \ast @<<< S^{n} @>>> \ast \\ \end{CD},\] donde la función \(S^{n} \to S^{n}\) es la identidad. ¿Cuáles son las funciones inducidas en coproductos amalgamados homotópicos y no homotópicos?