Tarea 1
Cofibraciones

1. (5.3) Supón que tienes un cuadrado de mapas que solo conmuta salvo homotopía: \[\require{amsCd} \begin{CD} A @>{i}>> B \\ @V{f}VV @VV{g}V \\ C @>{j}>> D \end{CD}\] Prueba que si \(i\) es cofibración, entonces existe un mapa \(\gamma : B \to D\) homotópico a \(g\) que hace que el cuadrado conmute.
2. (5.10) Prueba que si \(i : A \to X\) es una cofibración, entonces para cualquier espacio \(Y\) el mapa \(i \times \mathsf{id} : A \times Y \to X \times Y\) es una cofibración.
3. (Comentario arriba de 5.16) Prueba que sin importar si \(i : A \to X\) es cofibración o no, la inclusión \(X \to X \cup_{A} A \times I\) siempre es cofibración.

Una cofibración basada entre espacios basados se define igual que las cofibraciones para espacios no basados, solo que usando homotopía basadas. Recuerda que una homotopía basada se puede representar como un mapa \(X \wedge I_{+} \to Y\) y que a \(X \wedge I_{+}\) le llamamos también half-smash y lo denotamos por \(X \rtimes I\). Entonces un mapa basado entre espacios basados se define con la misma propiedad de extensión que aparece en la definición de cofibración, solo que usando \(A \rtimes I\) y \(X \rtimes I\) en lugar de \(A \times I\) y \(X \times I\). (Esto viene al inicio de la sección 5.7).

4. (Parte de 5.79) Prueba que una mapa basado que es cofibración no basada también es cofibración basada, es decir si \(i : A \to X\) es un mapa basado tal que \(i_{-} : A_{-} \to X_{-}\) es una cofibración, entonces \(f\) es una cofibración basada.

   ¡El recíproco de esto no es cierto! Pero sí es cierto si \(A\) y \(X\) tienen punto base no degenerado, lo cual significa que la inclusión del punto base es una cofibración. La demostración de esto es bastante técnica y la pueden buscar en el libro Concise Algebraic Topology de Peter May.

5. Encuentren un espacio \(X\) y un punto \(x \in X\) tal que la inclusión \(\{x\} \to X\) no sea cofibración. (Sugerencia: \(X\) no puede ser un CW).
6. (5.112) Sea \(i : A \to X\) una cofibración basada que es inclusión (para simplificar la notación) y sea \(q : X \to X/A\) el mapa cociente. Prueba que para cualquier \(Y \in \mathcal{T}_{\ast}\) la sucesión de conjuntos basados \[[X/A,Y] \xrightarrow{q^{\ast}} [X, Y] \xrightarrow{i^{\ast}} [A, Y]\] es exacta, es decir que \(\mathsf{im}(q^{\ast}) = \mathsf{ker}(i^{\ast})\), donde el núcleo simplemente quiere decir la preimagen del punto base de \([A,Y]\), la clase de homotopía de la función constante.
7. (5.119) Si \(i : A \to X\) es una cofibración y \(A\) es contráctil, con la notación del problema anterior, prueba que \(q^{\ast}\) es una biyección para cualquier espacio \(Y\). Como corolario deduce que \(q\) es una equivalencia homotópica.