Productos Interiores

En cada caso dí porque la función \(f : V \times V \to \mathbb{R}\) indicada no es un producto interior en el espacio vectorial \(V\) sobre \(\mathbb{R}\) indicado.

1. \(V = \mathbb{R}^2\), con \(f((a,b), (c,d)) = ac-bd\).
2. \(V = M_{2\times 2}(\mathbb{R})\), con \(f(A,B) = \tr(A+B)\). (Recuerda que la traza \(\tr(A)\) de una matriz cuadrada es la suma de las entradas diagonales de \(A\), es decir, \(\tr(A) = \sum_i a_{ii}\)).
3. \(V = P_n(\mathbb{R})\), con \(f(p(x), q(x)) = \int_0^1 p'(x) q(x) \; dx\) —donde \(p'(x)\) denota la derivada del polinomio \(p(x)\).

En las siguientes preguntas \(V\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) con un producto interior que denotamos \(u \cdot v\). La correspondiente norma la denotamos \(\norm{v} = \sqrt{v \cdot v}\).

1. Sea \(\beta\) una base de \(V\), no necesariamente ortonormal. Prueba que si dos vectores \(x, y \in V\) son tales que para todo vector \(z \in \beta\), se cumpe que \(x \cdot z = y \cdot z\), entonces \(x = y\).
2. Prueba que si \(x, y \in V\) cumplen \(\norm{x}^2 + \norm{y}^2 = \norm{x+y}^2\), entonces \(x\) y \(y\) son ortogonales.

3. Sea \(T : V \to V\) una transformación lineal tal que \(\norm{T(v)} = \norm{v}\) para todo \(v \in V\).

   Demuestra que (a) \(T\) es inyectiva, (b) \(T\) preserva el producto interior, es decir \(T(u) \cdot T(v) = u \cdot v\) para toda \(u,v \in V\).

Como antes, sea \(V\) un espacio vectorial real con un producto interior, donde usaremos \(u \cdot v\) y \(\norm{v}\) como notación para el producto interior y su norma asociada, respectivamente.

1. Sea \(\beta = \{u_1, \ldots, u_n\}\) una base ortonormal de \(V\) y sea \(W = \langle u_1, \ldots, u_k \rangle\) el subespacio generado por los primero \(k\) vectores en \(\beta\).

   El complemento ortogonal de \(W\), por definición es \(W^{\perp} := \{x \in V : \forall w \in W, x \cdot w = 0\}\).

   (a) Prueba que \(W^{\perp}\) es un subespacio vectorial de \(V\).

   (b) Describe \(W^{\perp}\) en términos de la base \(\beta\). (Sugerencia: toma \(x \in W^{\perp}\) y piensa cómo deben ser sus coordenadas con respecto a la base \(\beta\)).

   (c) Prueba que el complemento ortogonal de \(W^{\perp}\) es¹ \(W\), es decir, que \(W = \{w \in V : \forall x \in W^{\perp}, w \cdot x = 0\}\).

2. Definimos \(f \cdot g = \int_0^\pi f(t)g(t) \; dt\) para funciones continuas \(f\) y \(g\). En el subespacio \(V = \langle \cos t, \sin t, 1, t \rangle\) de \(C(\mathbb{R}; \mathbb{R}) = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ es continua}\}\), esa definición produce un producto interior.

   (a) Aplica el proceso de Gram-Schmidt a la base \(\{\cos t, \sin t, 1, t\}\) de \(V\) para obtener una base ortonormal.

   (b) Encuentra las coordenadas de \(h(t)=2t+1\) con respecto a la base ortonormal que obtuviste en (a).