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Diagonalización y Determinantes

Índice

Fecha de entrega: 3 de diciembre.

Diagonalización

  1. Sea \(A\) una matriz de \(n\times n\) y sean \(v_1, \ldots, v_k\) vectores propios de \(A\) tales que los correspondientes valores propios \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) son distintos dos a dos.

    (a) Demuestra que \(\{v_1, \ldots, v_k\}\) es linealmente independiente.

    (b) Prueba que \(A\) tiene a lo más \(n\) valores propios distintos1 y que si sí tiene \(n\), entonces es diagonalizable.

  2. Sea \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ t & 1 \end{pmatrix}\), una matriz de \(2 \times 2\) con entradas reales. ¿Para qué valores de \(t\) es diagonalizable \(A\) sobre los reales y cuál es la matriz diagonal correspondiente en esos casos?
  3. Sea \(A\) una matriz diagonalizable de \(n \times n\) con solo un valor propio \(\lambda\). Demuestra que forzosamente \(A = \lambda I\).

  4. En cada caso, da ejemplos de matrices de \(3 \times 3\) con entradas reales, que no sean diagonales (y justifica que realmente son un ejemplo de lo que se pide):

    (a) Una matriz no diagonalizable sobre los complejos.

    (b) Una matriz no diagonalizable sobre los reales, pero sí sobre los complejos.

    (c) Una matriz diagonalizable que tenga solo dos valores propios distintos.

  5. Sea \(T : M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \to M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) el operador lineal definido por \(T \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix}\). Diagonaliza \(T\), es decir, encuentra una base de \(M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) que conste de vectores propios para \(T\) y escribe la matriz de \(T\) en esa base.

  6. Sea \(T : M_{n \times n}(\mathbb{R}) \to M_{n \times n}(\mathbb{R})\) el operador de tomar la matriz transpuesta, \(T(A):=A^{\intercal}\).

    (a) Demuestra que los únicos valores propios de \(T\) son \(\pm 1\).

    (b) Encuentra la dimensión de \(\ker(T-I)\) y de \(\ker(T+I)\). ¿Es \(T\) diagonalizable?

Determinantes

  1. El teorema de Cayley-Hamilton dice que cualquier matriz cuadrada es raíz de su polinomio característico, es decir si \(\det(A - \lambda I) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k\), entonces \(\sum_{k=1}^n a_k A^k = 0\). Este problema se trata de demostrar el caso \(n=2\) del teorema.

    (a) Prueba que para una matriz \(A\) de \(2 \times 2\), se tiene que \(\det(A-\lambda I) = \lambda^2 - \tr(A) \lambda + \det(A)\).

    (b) Prueba que para una matriz \(A\) de \(2 \times 2\), se tiene que \(A^2 - \tr(A) A + \det(A) I = 0\).

  2. Supón que \(A \in M_{n \times n}(K)\) es una matriz diagonalizable. Demuestra que2 \(\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n\) donde \(\lambda_i\) es el valor propio correspondiente al vector propio \(v_i\) y \(\{v_1, \ldots, v_n\}\) es una base de \(K^n\).

  3. Supón que la matriz \(M\) de \((m+n) \times (m+n)\) se puede dividir en bloques \(M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}\), donde \(A\) es de \(m \times m\), \(B\) es de \(m \times n\), \(C\) es de \(n \times n\) y \(0\) es la matriz cero de \(n \times m\). Prueba que \(\det(M) = \det(A) \det(C)\).

    (Sugerencia: Piensa en escalonar \(M\)).

  4. Sea \(A\) una matriz de \(n \times n\) que es triangular superior, es decir, sus entradas debajo de la diagonal son todas cero: \(A = (a_{ij})\) y \(a_{ij} = 0\) siempre que \(i>j\). Prueba que \(\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\).

    (Sugerencias: Esto se puede hacer de al menos 3 formas: (1) escalonando \(A\), (2) expandiendo el determinante a lo largo de la primer columna —que funciona exactamente igual que expandir a lo largo de un renglón3, (3) con la fórmula que usa permutaciones: \(\det(A) = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i\sigma(i)}\)).

  5. Calcula el determinante de la siguiente matriz formada por coeficientes binomiales:

    \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 \\ \end{pmatrix}\]

    (Sugerencia: escalona la matriz; no es necesario llegar a la forma escalonada reducida: puedes detenerte cuando llegues a una triangular superior y usar el problema anterior).

1

Otra manera de probar que una matriz \(A\) de \(n \times n\) tiene a lo más \(n\) valores propios diferentes es usar que son raíces del polinomio característico \(\det(A - \lambda I)\) de \(A\), que es de grado \(n\). Aquí quiero que lo deduzcan del inciso (es

2

Usualmente uno dice «el determinante de \(A\) es el producto de sus valores propios contados con multiplicidad», porque las \(\lambda_i\) pueden no ser todas distintas. Los vectores propios sirven aquí para indicar cuantas veces aparece cada valor entre las \(\lambda_i\).

3

Puedes usar la expansión a lo largo de una columna aunque en clase solo vimos la expansión a lo largo de renglones.

— Omar Antolín Camarena