Bases aditivas en campos primos

Una de las preguntas clásicas en Teoría de números consiste en saber si cierta clase de enteros puede representarse como una suma fija de elementos de una sucesión dada, dos de los ejemplos más destacados son las conjeturas de Goldbach y el problema de Waring.

La misma pregunta puede adecuarse en distintas estructuras aritméticas. Por ejemplo, para los campos finitos y en particular los campos primos, aquellos con p elementos, el problema adquiere una complejidad particular cuando buscamos universalidad en la representatividad de clases residuales.

De manera precisa, suponga que s(n) es una sucesión de enteros, y nos preguntamos si existe un entero k≥2 tal que toda clase residual λ se escribe como 

   s(n₁) + ⋯ + s(nₖ) ≡ λ (mod p).

Cuando este fenómeno tiene lugar, se dice que s(n) es una base aditiva finita de 𝔽ₚ. Además, se busca que k sea independiente de la elección de p, o que funcione para un conjunto de primos de densidad positiva.

Presentaremos algunos resultados que involucran, sucesiones lineales recurrentes, coeficientes de formas modulares y sucesiones aritméticas. También hablaremos de ideas generales y técnicas particulares que han permitido obtener resultados en esta dirección.