"Proyecciones oblicuas y problemas de aproximación en espacios de Hilbert". Alejandra Maestripieri. Instituto Argentino de Matemática y UBA

Sea
H un espacio de Hilbert complejo y L(H) el álgebra de operadores
lineales y acotados de
H. Dado un operador A ∈ L(H) positivo y un subespacio S
de
H diremos que el par (A, S ) es compatible si existe una proyección Q con rango S
autoadjunta para la forma sesquilineal semidefinida positiva asociada a A, dada por
⟨x, y⟩A = ⟨Ax, y⟩, donde x, y ∈ H. Es f´acil ver que Q es A-autoadjunta si y s´olo si
AQ = Q∗ A. El conjunto de estas proyecciones, que notaremos
P (A, S ), puede ser
vacío, tener un elemento o infinitos. Presentaremos varias condiciones que garanti-
zan la existencia de estas proyecciones y caracterizaremos el conjunto
P (A, S ) como
una variedad afín, con un elemento destacado, que conserva varias de las propiedades
características de las proyecciones ortogonales clásicas. Aplicando estos resultados,
estudiaremos varios problemas de aproximaci´on, entre ellos el problema de “splines”
abstractos, el problema de “smoothing” y el problema de cuadrados mínimos con pesos.