Geometría Tropical desde los tiempos de Hilbert

Resumen:

En el año 1900, durante el congreso internacional de matemáticos celebrado en París, el gran matemático David Hilbert propuso una lista de 23 problemas sin resolver. Uno de ellos fue el problema 16, en el cual Hilbert se preguntaba  por el tioi topológico de las curvas algebraicas reales maximales. Este problema puede describirse en terminos sencillos con la siguiente pregunta:

¿Cuántas formas puede tener los ceros de un polinomio con coeficientes reales?

 Específicamente se te trataba de describir todas las posibles "configuraciones" de una curva de grado d. El problema, aunque muy sencillo de resolver sólo para grados menores o iguales a 4, presenta serias dificultades en los casos más generales. En particular, la solución de los casos d=5 y d=6 dada por Oleg Viro a finales de los años 70, introduce una de las herramientas más importantes en el estudio de curvas algebraicas reales, que hoy en día se conoce como patchworking. Motivados por resolver este problema, introduciremos la técnica de patchworking desde el punto de vista conbinatorio, empleando herramientas de la geometría tropical. Una vez estemos familiarizadoscon la terminología, mencionaremos algunas de las versiones del teorema de Haas que resuleven parcialmente el problema 16 de Hilbert.

Esta charla está dirigida a estudiantes de la carrera de matemáticas que les interesa las aplicaciones del ágebra en otras áreas de la matemática pura, como la geometría y la topología. O simplemente, a todo matemático interesado en conocer  que esconde la geometría tropical detrás de ese nombre tan exótico.