Una cúbica interesante asociada a un triángulo fijo

Dado un triángulo ABC, los pies de sus medianas, los pies de sus alturas y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro a los vértices pertenecen todos a un mismo círculo, el "círculo de los nueve puntos" cuyo centro es el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro y cuyo radio es la mitad del radio del círculo circunscritoa ABC. Es también de sobra conocido que existen cuatro círculos tangentes a los tres lados de ABC, el "incírculo" y los tres "excírculos". El Teorema de Feuerbach establece que estos cuatro círculos son todos tangentes al círculo de los nueve puntos. Si tomas un punto P que no pertenezcaa ninguno de los lados del triángulo ni al círculo circunscrito al triángulo, las tres proyecciones de P sobre los lados del triángulo determinan un círculo, el "círculo pedal de P" el cual pasa por las tres proyecciones mencionadas. Probaremos que el lugar geométrico de los puntos P cuyo círculo pedal es tangente al círculo de los nueve puntos es una cúbica irreducible la cual pasa por los tres vértices del triángulo, por su incentro, por sus tres excentros, por el circuncentro y por el ortocentro. Además la tangente de la cúbica en el circuncentro es la recta de Euler. De esta manera generalizamos el Teorema de Feuerbach. El único requisito que pedimos al triángulo ABC es que no sea isóceles ni rectángulo.

Seminario de Becarios