Cálculo Diferencial y Conexiones Sobre Espacios Cuánticos

Es la primera de una mini-serie de pláticas. Vamos a presentar fundamentos de cálculo diferencial, haces vectoriales y principales, conexiones y curvatura sobre los espacios cuánticos.

Consideraremos dos ejemplos bien sencillos, aún así extremadamente ricos de la estructura geométrica: El espacio clásico de 2 puntos, equipado con su canónico cálculo diferencial no-conmutativo, y la esfera cuántica "bebe", representada por el álgebra de matrices complejas 2x2 y equipada con el cálculo diferencial basado en derivaciones. En ambos casos analizaremos haces, conexiones y calcularemos la forma de la curvatura.

Como una muy interesante aplicación en física, resolveremos por completo las ecuaciones de Yang-Mills-Maxwell. Platicaremos sobre las teorías correspondientes de Kaluza-Klein, donde se supone que el espacio tiempo es una combinación tipo producto directo, de la variedad clásica 4-dimensional de Minkowski, con un espacio interno de dimensiones "escondidas" dado por uno de estos espacios cuánticos. En particular, explicaremos como la luz oscilando a lo largo de estas direcciones cuánticas, puede asumir la forma y propiedades del campo de Higgs.