Ecuaciones indefinidas de Choquard y avances en teoría G-equivariante de Ljusternik-Schnirelmann

En esta charla presentaremos algunos resultados sobre la ecuación planar de Choquard
\(- \Delta u + a(x) u + (\log | \cdot | \ast u^2) u = 0 \quad \text{en } \mathbb{R}^2,\)
donde \(a \in L^\infty(\mathbb R^2)\). Nos enfocaremos en dos aspectos. Primeramente, consideramos ecuaciones fuertemente indefinidas, esto es, suponemos que \(a(x) < 0\) en un conjunto de medida positiva. En este caso el operador \(- \Delta + a\) puede contener números negativos en su espectro y la teoría clásica de multiplicidad no es aplicable.

Segundo, presentaremos avances en teoría de Ljusternik-Schnirelmann para funcionales que son invariantes bajo un grupo de isometrías. Esta teoría surge como generalización de los métodos desarrollados para la ecuación de Choquard y como aplicación, hablaremos de sistemas periódicos de Schrödinger-Poisson en tres dimensiones.