Multiplicidad de soluciones nodales para ecuaciones de tipo Yamabe

Resumen:

Dada una variedad Riemanniana compacta y sin frontera, (M,g), de dimensión m≥3, bajo condiciones apropiadas de simetrías, establecemos la existencia y multiplicidad de soluciones positivas y que cambian de signo para el siguiente problema de tipo Yamabe,

-div_{g}(a∇u)+bu=c|u|^{2^{∗}-2}u en M

donde div_{g} denota el operador de divergencia en (M,g), a,b y c son funciones suaves con a y c positivas, y 2^{∗}=((2m)/(m-2)) denota al exponente crítico de Sobolev. En particular, si R_{g} denota la curvatura escalar de (M,g), damos algunos ejemplos donde la ecuación de Yamabe

-((4(m-1))/(m-2))Δ_{g}u+R_{g}u=κu^{2^{∗}-2} on M.

admite una infinidad de soluciones que cambian de signo. Además estudiamos la falta de compacidad de este tipo de problemas en el caso simétrico y cómo podemos recuperarla en algunos niveles de energía mediante simetrías. Esto nos permite usar métodos variacionales adecuados para mostrar la existencia de dichas soluciones.
Este es un trabajo conjunto con Mónica Clapp.