Infinidad de soluciones para el problema de Bahri-Lions en la bola

Resumen:

Consideremos el problema

\begin{equation}

\begin{cases}

-\Delta u=|u|^{p-2}u + f &\text{ en }\Omega\\

u=u_0 &\text{ sobre }\partial\Omega \\

u(g(x)) = u(x) &\forall x \in \Omega ,\, g \in G

\end{cases}

\end{equation}

donde $\Omega = B^N_1$ es la bola unitaria en $\mathbb{R}^N = \bigoplus_{j=1}^l \mathbb{R}^{m_j} \oplus \mathbb{R}^k $, $m_j \geq 2$ y $k\geq 0$, $G$ es un subgrupo cerrado de $O(N)$ con

$$ G = \prod_{j=1}^l O(m_j) \times Id(\mathbb{R}^k),$$

$N \geq 3$, $2 < p < 2^*$ y $f \in L^2(\Omega)$.

Es conocido por Ryuji Kajikija (2001) que cuando $f = 0 $, $u_0 = 0$ la ecuaci\'on diferencial parcial tiene una infinidad de soluciones. En esta pl\'atica se dar\'an algunas condiciones que se deben cumplir para que el problema tenga una infinidad de soluciones.