Prescribiendo órdenes de distancias en el espacio

Dado un conjunto $X\subset\mathbb{R}^d$ con $n$ elementos, podemos asociar las distancias entre los elementos de $X$ a su respectiva pareja. En el sentido opuesto, existe una caracterización para los conjuntos de $\binom{n}{2}$ números asociados a parejas $(i,j)$, tales que existen puntos $x_1,\cdots,x_n$ en $\mathbb{R}^d$ cuyas distancias están descritas por dicha asociación. Además, esta caracterización indica la menor dimensión en la cual existen los puntos. En esta plática nos centraremos en algunas variaciones interesantes del problema. ¿Cuál es la mínima dimensión $d$ en la que cuál cualquier orden total sobre las parejas $(i,j)$ corresponde a distancias de puntos en $\mathbb{R}^d$? ¿Qué pasa si no consideramos todas las parejas en el orden?