El convexo mas picudo en dimensiones tres

El volumen de Mahler de un compacto convexo K es el producto |K||K*| entre volumen del convexo |K| y el volumen de su polar |K*|. Mahler se pregunto sobre el máximo y el mínimo de este volumen cuando observó que es invariante bajo transformaciones afines. Santaló provo que el máximo lo realiza una bola euclidiana (o cualquier ellipsoide), es decir para todo convexo K, |B_2|^2\geq |K||K*|, donde B_2 es la bola unitaria del espacio euclidiano. En la otra dirección Mahler conjeturo que para todo cuerpo convexo centralmente simétrico |K||K*|\geq 4^n/n! Aquí n es la dimension, y un calculo elemental muestra que 4^n/n! es el volumen de Mahler del cubo. 

Mahler probo su conjetura para n=2 y desde entonces esta ha atraído el interés de analistas, geómetras diferenciales, convexos simplécticos, sistólicos… etc. Entre otras familias de convexos para la que se ha demostrado la conjetura están los Zonoides y los cuerpos incondicionales. Bourgain y Miman demostraron que existe una constante c tal que  |K||K*|\geq c^n/n!, Kuperberg demostró que c \geq \pi. 

En este platica explicare un trabajo conjunto con Fradelizi, Roldan-Pensado, Meyer y Zvavitch en el que presentamos una simplificación de la solución de Iriyeh y Shibata (arXiv 2017) de la conjetura de Mahler en dimension 3. La prueba combina un resultado de equiparticiones (tipo ham Sandwhich) con ideas elementales de geometría diferencial (teorema de Stokes).