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Seminario de Análisis Matemático B: Introducción al Cálculo Estocástico, Semestre 2011-2
Grupo: 4256
Horario: Lunes a viernes 11-12, Taller de estadística, Tlahuizcalpan.
Profesor: Gerónimo Uribe Bravo
(Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)
Ayudante: Eduardo Oropeza (Cub. 35, Instituto de Física, e-mail: e.oropeza@gmail.com)
Descripción del curso
El objetivo del curso es presentar el cálculo estocástico respecto a martingalas con trayectorias continuas. Se comenzará por el caso particular del movimiento browniano.
Listado de temas:
- La integral estocástica respecto del movimiento browniano
- Martingalas a tiempo discreto y continuo y teoremas de regularización
- La integral estocástica respecto de martingalas continuas
- Ejemplos y aplicaciones de la teoría.
Prerequisitos: Se asumirán conocimientos de: teoría de la medida, esperanza condicional, y martingalas.
Bitácora del curso
Capítulo 1, La integral estocástica respecto del movimiento browniano
- 3 de Febrero: vectores gaussianos, momentos de variables gaussianas
- Definición de vector gaussiano, vector de media, matriz de varianza-covarianza.
- Función generadora de momentos de una normal estándar
- Momentos pares de una normal estándar
- Momentos del valor absoluto de una normal estándar
- Función característica de una normal estándar
- Función característica de un vector gaussiano
- 4 de Febrero: Cálculos con vectores gaussianos
- Distribución del cuadrado de una normal estándar
- Distribución de la norma de un vector con entradas gaussianas independientes
- Distribución del cociente de dos gaussianas independientes
- Distribución del ángulo de un vector con entradas gaussianas independientes
- 8 de Febrero: Ayudantía
- Un vector con entradas gaussianas que no es vector gaussiano
- Integrabilidad uniforme
- 9 de Febrero: Existencia del movimiento browniano
- Panorama sobre pruebas de existencia: por teorema de Kolmogorov y criterio de continuidad, por existencia de medidas gaussianas y criterio de continuidad, por convergencia débil, la
prueba de Lévy
- Prueba de Lévy: construcción recursiva, existencia del límite uniforme. Pendiente: caracterización del límite uniforme
- 10 de Febrero: Ayudantía.
- Ejercicio: Criterio de independencia de entradas de vectores gaussianos con covarianzas.
- Demostración: vector con entradas ind. sii característica del vector es el producto de las
características (usando inyectividad de función característica.)
- 11 de Febrero: Existencia del movimiento browniano
- Recapitulación de la prueba, con heurística
- Lema de covariancia para aproximaciones de Lévy
- Caracterización del proceso límite uniforme como un movimiento browniano
- 14 de Febrero: Dos integrales estocásticas
- Martingalas Brownianas clásicas
- Enunciado de existencia de variación cuadrática
- Implicación: la convergencia de sumas de Riemann depende del punto de evaluación: si \( \Delta=\{t_i\}\) es partición de \( [0,t] \), conforme \(|\Delta|\to 0\)
$$ \sum B_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \stackrel{\mathbb{P}}{\to} \frac{B_t^2-t}{2} \quad\text{y}\quad\sum B_{t_{i}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \stackrel{\mathbb{P}}{\to} \frac{B_t^2+t}{2}.$$
- 15 de Febrero: Ayudantía
- Definición de \(\pi\)-sistema y \(\lambda\)-sistema
- Demostración del Lema de Dynkin
- 16 de Febrero: Variación cuadrática e integral estocástica
- Prueba de la existencia de la variación cuadrática del movimiento Browniano (como límite en
\(L_2\) a tiempo fijo)
- Enunciado de existencia de la integral estocástica de un proceso adaptado con trayectorias continuas respecto del movimiento Browniano
- Comenzó de la prueba de existencia de la integral estocástico
Jueves 17 Febrero: Ayudantía -
- Ejercicio: Si dos medidas coinciden en un \(\pi\)-sistema entonces coinciden en la \(\sigma\)-álgebra generada por el \(\pi\)-sistema
-
- Ejercicio: Extensión de la propiedad de incrementos independientes
- 18 de Febrero
- Prueba de la existencia de la integral estocástica
- Desigualdad de Doob para martingalas discretas
- Enunciado de la existencia de una modificación continua de la integral estocástica
- 21 de Febrero
- No hubo clase
- 22 de Febrero: Ayudantía
- Martingalas asociadas a los polinomios de Hermite
- Asesoría de los problemas de la Tarea 2
- 23 de Febrero
- Modificación continua de la integral estocástica de un proceso continuo y adaptado respecto del movimiento Browniano, prueba
- Fórmula de Ito para el movimiento browniano
- 24 de Febrero: Ayudantía
- Distintintas definiciones de "igualdad" entre procesos: igualdad puntual, modificación, distribuciones finito-dimensionales, indistiguibilidad. Relaciones entre ellas.
- Ejemplo de dos procesos que son modificación uno del otro pero no indistinguibles
- 25 de Febrero
- Integrales estocáasticas y martingalas cuadrado integrables
- Desigualdad de Doob para la integral estocástica
- 28 de Febrero
- Ecuaciones diferenciales estocásticas respecto al movimiento browniano
- Motivación: adición de ruido a una EDO
- Hipótesis de Lipschitz global
- Enunciado del teorema de existencia y unicidad
- Comienzo de la prueba de unicidad: segundo momento de la diferencia entre dos soluciones
- Lema de Gronwall
- 1 de Marzo: Ayudantía
- Ejercicio: Si dos procesos son modificación uno del otro y tienen trayectorias cadlag c.s.
entonces son indistinguibles.
- Ejercicio: Si \(X\) es un proceso cadlag c.s. El evento en el que \(X\) tiene trayectorias continuas en \([0,t]\) no
necesariamente esta en \(\sigma (X_s:0\leq s\leq t)\).
- 2 de Marzo
- Prueba de unicidad con coeficientes de difusión y deriva acotados
- Comienzo de la prueba de existencia por el método de aproximaciones sucesivas de Picard:
mostramos existencia del límite, falta que el límite satisface la ecuación diferencial estocástica
- 4 de Marzo
- Un teorema de continuidad de la integral: convergencia en probabilidad más cota en \(L_2\) de variaciones cuadráticas implican convergencia de integrales estocásticas
- Conclusián de la prueba de existencia por el método de aproximaciones sucesivas. Vimos que el límite de la clase anterior satisface la EDE
- Conclusión de la prueba de unicidad
- 7 de Marzo: Conclusión del capítulo
- Motivación: qué tipo de generalizaciones de la integral son deseables
- Funciones de variación acotada: el teorema de descomposición y la fórmula de integración por partes
- 9 de Marzo
- Regla de la cadena para la integral de Lebesgue-Stieltjes
11 de Marzo
- Prueba de la regla de la cadena para funciones de variación acotada
Capítulo 2, Martingalas a tiempo discreto y continuo
- 15 de Marzo: Martingalas a tiempo discreto y continuo
- Comenzamos capítulo de martingalas
- Def. de martingala
- Integral estocástica discreta (la transformada de martingala)
- Primera versión del teorema de muestreo opcional de Doob
- 16 de Marzo
- Desigualdad maximal de Doob (tiempo discreto)
- Desigualdad en \(L_p\) de Doob (tiempo discreto)
- 18 de Marzo
- Comenzamos con parte convergencia y regularización de Martingalas
- Concepto de cantidad de cruces
- Desigualdad de cruces de submartingalas de Doob
- Un teorema de convergencia de martingalas
- 21 de Marzo
- Desigualdad \(L_p\) de Doob para martingalas continuas por la derecha
- 23 de Marzo
- Enunciado del teorema de regularización de martingalas
- Comienzo de la prueba
24 de marzo: Ayudantía
-
- Propiedades de monotonía de la filtración detenida en un tiempo de paro
- 25 de Marzo
- Prueba del teorema de regularización de martingalas
- 28 de Marzo
- Martingalas cerradas e integrabilidad uniforme
- 29 de marzo: Ayudantía
- Filtraciones detenidas en un tiempo de paro y medibilidad
- Cantidad de cruces de funciones y convergencia
- 30 de Marzo
- Teorema de muestreo opcional para martingalas continuas por la derecha
- Comenzamos con integración estocástica respecto a martingalas continuas
- Constancia de martingalas continuas con variaci?on finita
- 31 de marzo: Ayudantía
- Bosquejo del problema 2, tarea 6
- Bosquejo del problema 3, tarea 6
Capítulo 3, La integral estocástica respecto de martingalas continuas
- 1 de Abril
- La variación cuadrática de una martingala continua
- Definiciones, enunciado de existencia y unicidad, y prueba de unicidad
- 4 de Abril
- Prueba del teorema de existencia de la variacióon cuadrática: discretización y su convergencia
- 6 de Abril
- Definición de martingala local y semartingala
- Variación cuadrática de martingalas locales continuas
- 8 de Abril
- Polarización y covariación de martingalas locales continuas
- Covariación de una martingala local detenida
- Nulidad de la variación cuadrática de una martingala local continua
- 11 de Abril
- Variación cuadrática de semimartingalas
- El espacio de martingalas acotadas en \(L_2\)
- 13 de Abril
- Desigualdad de tipo Cauchy para integrales respecto a la covariación de dos martingalas locales continuas
- Comienzo de la prueba
- 15 de Abril
- Finalizaci'on de la prueba de las desigualdades tipo Cauchy
- Panorama de la construcción de la integral estocástica
- Resumen de la sección sobre martingalas locales continuas
- 25 de Abril
- Existencia de la integral estocástica para martingalas acotadas en \(L_2\)
- 27 de Abril
- Asociatividad de la integral estocástica
- Integrales estocásticas detenidas
- Localización e integrales estocásticas respecto de martingalas locales continuas
- 29 de Abril
- Procesos localmente acotados
- La integral estocástica respecto de semimartingalas continuas y sus propiedades
- Teorema de convergencia dominada para la integral estocástica
- La integral estocástica como límite de integrales estocásticas elementales
- 2 de Mayo: no hubo clase
- 4 de Mayo
- La fórmula de integración por partes para semimartingalas continuas: $$ X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^t X_s\, dY_s+\int_0^t Y_s\, dX_s+\langle X,Y\rangle_t .$$
- La fórmula de Ito para semimartingalas continuas:$$ \imf{f}{X_t}=\imf{f}{X_0}+\int_0^t \imf{f'}{X_s}\, dX_s+\frac{1}{2}\int_0^t\imf{f''}{X_s}\, d\langle X\rangle_s;$$ comenzamos la prueba
- 6 de Mayo
- Demostración de la fórmula de Ito
- 9 de Mayo
- Polaridad del cero para el movimiento browniano 2 dimensional
- 11 de Mayo
- Cambios de tiempos de martingalas continuas
- El teorema de Dambis-Dubins-Schwarz
- 13 de Mayo
- Un detalle técnico sobre cambios de tiempo
- El teorema de Knight
- Cambios de tiempo y soluciones débiles de EDS
- 16 de Mayo
- Medidas de probabilidad equivalentes en un espacio de probabilidad filtrado y martingalas
- Representación de martingalas locales positivas como exponenciales estocásticas
- El teorema de Girsanov
- 18 de Mayo
- El teorema de Girsanov con horizonte finito
- Aplicación al movimiento browniano con deriva
- 20 de Mayo
- El problema de Dirichlet para la ecuacióon de Laplace.
- 23 de Mayo
- La fórmula de Feynman-Kac
- 25 de Mayo
- La fórmula de Poisson para el semiplano superior
- Ecuación diferencial estocástica para cuadrados de procesos de Bessel