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Seminario de Análisis Matemático B: Introducción al Cálculo Estocástico, Semestre 2011-2


Grupo: 4256

Horario: Lunes a viernes 11-12, Taller de estadística, Tlahuizcalpan.

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Ayudante: Eduardo Oropeza (Cub. 35, Instituto de Física, e-mail: e.oropeza@gmail.com)


Descripción del curso

El objetivo del curso es presentar el cálculo estocástico respecto a martingalas con trayectorias continuas. Se comenzará por el caso particular del movimiento browniano.

Listado de temas:

Prerequisitos: Se asumirán conocimientos de: teoría de la medida, esperanza condicional, y martingalas.


Bitácora del curso

Capítulo 1, La integral estocástica respecto del movimiento browniano

3 de Febrero: vectores gaussianos, momentos de variables gaussianas
Definición de vector gaussiano, vector de media, matriz de varianza-covarianza.
Función generadora de momentos de una normal estándar
Momentos pares de una normal estándar
Momentos del valor absoluto de una normal estándar
Función característica de una normal estándar
Función característica de un vector gaussiano
4 de Febrero: Cálculos con vectores gaussianos
Distribución del cuadrado de una normal estándar
Distribución de la norma de un vector con entradas gaussianas independientes
Distribución del cociente de dos gaussianas independientes
Distribución del ángulo de un vector con entradas gaussianas independientes
8 de Febrero: Ayudantía
Un vector con entradas gaussianas que no es vector gaussiano
Integrabilidad uniforme
9 de Febrero: Existencia del movimiento browniano
Panorama sobre pruebas de existencia: por teorema de Kolmogorov y criterio de continuidad, por existencia de medidas gaussianas y criterio de continuidad, por convergencia débil, la prueba de Lévy
Prueba de Lévy: construcción recursiva, existencia del límite uniforme. Pendiente: caracterización del límite uniforme
10 de Febrero: Ayudantía.
Ejercicio: Criterio de independencia de entradas de vectores gaussianos con covarianzas.
Demostración: vector con entradas ind. sii característica del vector es el producto de las características (usando inyectividad de función característica.)
11 de Febrero: Existencia del movimiento browniano
Recapitulación de la prueba, con heurística
Lema de covariancia para aproximaciones de Lévy
Caracterización del proceso límite uniforme como un movimiento browniano
14 de Febrero: Dos integrales estocásticas
Martingalas Brownianas clásicas
Enunciado de existencia de variación cuadrática
Implicación: la convergencia de sumas de Riemann depende del punto de evaluación: si \( \Delta=\{t_i\}\) es partición de \( [0,t] \), conforme \(|\Delta|\to 0\) $$ \sum B_{t_{i-1}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \stackrel{\mathbb{P}}{\to} \frac{B_t^2-t}{2} \quad\text{y}\quad\sum B_{t_{i}}\left(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\right) \stackrel{\mathbb{P}}{\to} \frac{B_t^2+t}{2}.$$
15 de Febrero: Ayudantía
Definición de \(\pi\)-sistema y \(\lambda\)-sistema
Demostración del Lema de Dynkin
16 de Febrero: Variación cuadrática e integral estocástica
Prueba de la existencia de la variación cuadrática del movimiento Browniano (como límite en \(L_2\) a tiempo fijo)
Enunciado de existencia de la integral estocástica de un proceso adaptado con trayectorias continuas respecto del movimiento Browniano
Comenzó de la prueba de existencia de la integral estocástico
Jueves 17 Febrero: Ayudantía
Ejercicio: Si dos medidas coinciden en un \(\pi\)-sistema entonces coinciden en la \(\sigma\)-álgebra generada por el \(\pi\)-sistema
Ejercicio: Extensión de la propiedad de incrementos independientes
18 de Febrero
Prueba de la existencia de la integral estocástica
Desigualdad de Doob para martingalas discretas
Enunciado de la existencia de una modificación continua de la integral estocástica
21 de Febrero
No hubo clase
22 de Febrero: Ayudantía
Martingalas asociadas a los polinomios de Hermite
Asesoría de los problemas de la Tarea 2
23 de Febrero
Modificación continua de la integral estocástica de un proceso continuo y adaptado respecto del movimiento Browniano, prueba
Fórmula de Ito para el movimiento browniano
24 de Febrero: Ayudantía
Distintintas definiciones de "igualdad" entre procesos: igualdad puntual, modificación, distribuciones finito-dimensionales, indistiguibilidad. Relaciones entre ellas.
Ejemplo de dos procesos que son modificación uno del otro pero no indistinguibles
25 de Febrero
Integrales estocáasticas y martingalas cuadrado integrables
Desigualdad de Doob para la integral estocástica
28 de Febrero
Ecuaciones diferenciales estocásticas respecto al movimiento browniano
Motivación: adición de ruido a una EDO
Hipótesis de Lipschitz global
Enunciado del teorema de existencia y unicidad
Comienzo de la prueba de unicidad: segundo momento de la diferencia entre dos soluciones
Lema de Gronwall
1 de Marzo: Ayudantía
Ejercicio: Si dos procesos son modificación uno del otro y tienen trayectorias cadlag c.s. entonces son indistinguibles.
Ejercicio: Si \(X\) es un proceso cadlag c.s. El evento en el que \(X\) tiene trayectorias continuas en \([0,t]\) no necesariamente esta en \(\sigma (X_s:0\leq s\leq t)\).
2 de Marzo
Prueba de unicidad con coeficientes de difusión y deriva acotados
Comienzo de la prueba de existencia por el método de aproximaciones sucesivas de Picard: mostramos existencia del límite, falta que el límite satisface la ecuación diferencial estocástica
4 de Marzo
Un teorema de continuidad de la integral: convergencia en probabilidad más cota en \(L_2\) de variaciones cuadráticas implican convergencia de integrales estocásticas
Conclusián de la prueba de existencia por el método de aproximaciones sucesivas. Vimos que el límite de la clase anterior satisface la EDE
Conclusión de la prueba de unicidad
7 de Marzo: Conclusión del capítulo
Motivación: qué tipo de generalizaciones de la integral son deseables
Funciones de variación acotada: el teorema de descomposición y la fórmula de integración por partes
9 de Marzo
Regla de la cadena para la integral de Lebesgue-Stieltjes
11 de Marzo
Prueba de la regla de la cadena para funciones de variación acotada

Capítulo 2, Martingalas a tiempo discreto y continuo

15 de Marzo: Martingalas a tiempo discreto y continuo
Comenzamos capítulo de martingalas
Def. de martingala
Integral estocástica discreta (la transformada de martingala)
Primera versión del teorema de muestreo opcional de Doob
16 de Marzo
Desigualdad maximal de Doob (tiempo discreto)
Desigualdad en \(L_p\) de Doob (tiempo discreto)
18 de Marzo
Comenzamos con parte convergencia y regularización de Martingalas
Concepto de cantidad de cruces
Desigualdad de cruces de submartingalas de Doob
Un teorema de convergencia de martingalas
21 de Marzo
Desigualdad \(L_p\) de Doob para martingalas continuas por la derecha
23 de Marzo
Enunciado del teorema de regularización de martingalas
Comienzo de la prueba 24 de marzo: Ayudantía
Propiedades de monotonía de la filtración detenida en un tiempo de paro
25 de Marzo
Prueba del teorema de regularización de martingalas
28 de Marzo
Martingalas cerradas e integrabilidad uniforme
29 de marzo: Ayudantía
Filtraciones detenidas en un tiempo de paro y medibilidad
Cantidad de cruces de funciones y convergencia
30 de Marzo
Teorema de muestreo opcional para martingalas continuas por la derecha
Comenzamos con integración estocástica respecto a martingalas continuas
Constancia de martingalas continuas con variaci?on finita
31 de marzo: Ayudantía
Bosquejo del problema 2, tarea 6
Bosquejo del problema 3, tarea 6

Capítulo 3, La integral estocástica respecto de martingalas continuas

1 de Abril
La variación cuadrática de una martingala continua
Definiciones, enunciado de existencia y unicidad, y prueba de unicidad
4 de Abril
Prueba del teorema de existencia de la variacióon cuadrática: discretización y su convergencia
6 de Abril
Definición de martingala local y semartingala
Variación cuadrática de martingalas locales continuas
8 de Abril
Polarización y covariación de martingalas locales continuas
Covariación de una martingala local detenida
Nulidad de la variación cuadrática de una martingala local continua
11 de Abril
Variación cuadrática de semimartingalas
El espacio de martingalas acotadas en \(L_2\)
13 de Abril
Desigualdad de tipo Cauchy para integrales respecto a la covariación de dos martingalas locales continuas
Comienzo de la prueba
15 de Abril
Finalizaci'on de la prueba de las desigualdades tipo Cauchy
Panorama de la construcción de la integral estocástica
Resumen de la sección sobre martingalas locales continuas
25 de Abril
Existencia de la integral estocástica para martingalas acotadas en \(L_2\)
27 de Abril
Asociatividad de la integral estocástica
Integrales estocásticas detenidas
Localización e integrales estocásticas respecto de martingalas locales continuas
29 de Abril
Procesos localmente acotados
La integral estocástica respecto de semimartingalas continuas y sus propiedades
Teorema de convergencia dominada para la integral estocástica
La integral estocástica como límite de integrales estocásticas elementales
2 de Mayo: no hubo clase
4 de Mayo
La fórmula de integración por partes para semimartingalas continuas: $$ X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^t X_s\, dY_s+\int_0^t Y_s\, dX_s+\langle X,Y\rangle_t .$$
La fórmula de Ito para semimartingalas continuas:$$ \imf{f}{X_t}=\imf{f}{X_0}+\int_0^t \imf{f'}{X_s}\, dX_s+\frac{1}{2}\int_0^t\imf{f''}{X_s}\, d\langle X\rangle_s;$$ comenzamos la prueba
6 de Mayo
Demostración de la fórmula de Ito
9 de Mayo
Polaridad del cero para el movimiento browniano 2 dimensional
11 de Mayo
Cambios de tiempos de martingalas continuas
El teorema de Dambis-Dubins-Schwarz
13 de Mayo
Un detalle técnico sobre cambios de tiempo
El teorema de Knight
Cambios de tiempo y soluciones débiles de EDS
16 de Mayo
Medidas de probabilidad equivalentes en un espacio de probabilidad filtrado y martingalas
Representación de martingalas locales positivas como exponenciales estocásticas
El teorema de Girsanov
18 de Mayo
El teorema de Girsanov con horizonte finito
Aplicación al movimiento browniano con deriva
20 de Mayo
El problema de Dirichlet para la ecuacióon de Laplace.
23 de Mayo
La fórmula de Feynman-Kac
25 de Mayo
La fórmula de Poisson para el semiplano superior
Ecuación diferencial estocástica para cuadrados de procesos de Bessel