Procesos Estocasticos I, 2012-II

Tarea 1

Ejercicio 1

Sea \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) una caminata aleatoria con saltos \(X_i\in \{-1,0,1,\ldots\}\). Sea \(C_p\) una variable aleatoria geométrica de parámetro \(p\) independiente de \(S\) y definimos $$ M_p=-\min_{n\leq C_p} S_n. $$El objetivo del ejercicio es determinar la distribución de \(M_p\).

(A las caminatas aleatorias como \(S\) se les ha denominado Skip-free random walks Para aplicaciones de este tipo de procesos, ver Applied Probability and Queues, S. Asmussen, Springer, 2003. También aparecen en el estudio de Procesos Galton-Watson. Este ejercicio es el resultado básico del estudio de sus extremos, denominado teoría de fluctuaciones.)

1. Sea$$g(\lambda)=E(e^{- \lambda X_1}).$$Pruebe que \(g(\lambda)\in (0,\infty)\) y que$$M_n=e^{-\lambda S_n}g(\lambda)^{-n},n\geq 0$$es una martingala.
2. Pruebe que \(g\) es log-convexa al aplicar la desigualdad de Hölder. Pruebe que si \(P(X_1=-1)>0\) (hipótesis que se utilizará desde ahora) entonces \(g(\lambda)\to\infty\) conforme \(\lambda\to\infty\). Utilice esta información para esbozar la gráfica de \(g\). Defina \( f(s)=\inf \{ \lambda>0:g(\lambda)^{-1} < s\} \). Note que \(1/g\circ f=Id\) en \((0,1)\). Pruebe que si \(g(\lambda)>1\), la martingala \(M\) es acotada hasta el tiempo de arribo de \(S\) a \(-k\) dado por $$ T_k =\min \{n\in\na:S_n=-k\} $$(donde se utiliza la convención \(\inf\emptyset=\infty\) ). Aplique el teorema de muestreo opcional de Doob para mostrar que$$E(s^{T_k})=e^{-k f(s)} .$$Justifique MUY bien por qué la fórmula es válida aun cuando \(T_k\) puede tomar el valor \(\infty\) y deduzca que de hecho \(\p (T_k=\infty)=0\).
3. Argumente que$$ P(M_p\geq n)=P(T_n\leq C_p)=E((1-p)^{T_n})$$ para demostrar que \(M_p\) tiene distribución geométrica de parámetro \(1-e^{-f(1-p)}\)
4. Tome el límite conforme \(p\to 0\) para mostrar que la variable aleatoria $$M=-\min_{n\geq 0}S_n$$tiene una distribución geométrica de parámetro \(1-e^{-f(1)}\). Interprete esto cuando \(f(1)=0\).

Ejercicio 2

Tomado de Probability with Martingales, D. Williams, Cambridge University Press, 1991, E10.5, p. 223

Lo que siempre tiene una posibilidad razonable de suceder lo hará (casi seguramente)-- y pronto.

Suponga que \(T\) es un tiempo de paro tal que para algún \(N\in\na\) y \(\varepsilon>0\) se tiene que para toda \(n\in\na\): $$ \p (T\leq N+ n|\F_n)>\varepsilon \text{ casi seguramente} $$ Pruebe por inducción al utilizar $$ \p (T>kN)= \p (T>kN,T>(k-1)N) $$que para cada \(k=1,2,\ldots\): $$ \p (T>kN)\leq \paren{1-\eps}^k. $$Pruebe que \( \esp (T)<\infty \).

Ejercicio 3

Tomado de Probability with Martingales, D. Williams, Cambridge University Press, 1991, E10.6, p. 223

A cada instante \(1,2,\ldots\) un chango teclea aleatoriamente una letra mayúscula en una máquina de escribir, la sucesión de letras forma una sucesión IID de distribución uniforme entre las 26 letras.

Justo antes de cada instante \(n=1,2\,\ldots\), un nuevo apostador arriba a la escena. Apuesta 1 peso a que enésima letra será A. Si pierde, se va, si no, apuesta su fortuna completa (ahora 26) a que la letra \(n+1\) será B y así sucesivamente a lo largo de la palabra ABRACADABRA. Sea \(T\) la primera vez en la que el chango escribe la palabra completa ABRACADABRA. Explique por qué la teoría de martingalas hace intuitivamente obvio que $$ \esp (T)=26^{11}+26^4+26. $$Utilice el teorema de muestreo opcional de Doob para demostrarlo.

Ejercicio 4

1. Instale Octave en su computadora
2. Échele un ojo a la documentación
3. Ejecute el siguiente código linea por linea:
   1. u=rand(600,1);
   2. x=[1/2];
   3. for i=1:600
   4. x(i+1)=(2+i)/(2+i+1)*x(i)+(u(i)<x(i))/(2+i+1);
   5. endfor
   6. plot(x)
4. Lea las secciones sobre simple examples , ranges, random number generation y comparison operators y escriba su interpretación de lo que hace el código anterior. Nota: está relacionado con uno de los ejemplos del curso.
5. Vuelva a correr el código varias veces y escriba sus impresiones sobre lo que está sucediendo.