# Se obtiene el esqueleto del movimiento Browniano de orden h.

T=3;
h=.001;
n=ceiling(T/h);
dB=rnorm(n,0,sqrt(h))
B=c(0,cumsum(dB))
plot((0:n)*h,B,type="l")

# Compararemos las distribuciones limite de caminatas aleatorias y esqueletos del MB. 


## Posicion al tiempo n vs posicion al tiempo 1 del mb

N=10000 # Tama\~no de la muestra. 
T=1;
h=.001;
n=1000; # Cantidad de pasos de la caminata aleatoria
S=numeric(N);
B=numeric(N);
for(i in 1:N){
 S[i]=sum( 2*(runif(n)<.5)-1 )/sqrt(n); # S_n donde S es una CASS
 B[i]=sum(  rnorm(ceiling(T/h),0,sqrt(h)) )
}

mean(S)
mean(B)
 
var(S)
var(B)

plot(sort(S),(1:N)/N,type="l") # graficamos la funcion de distribucion empirica en S
lines(sort(B),(1:N)/N,type="l",col="blue")

## Maximo de n pasos vs maximo del esqueleto del MB. 

N=10000 # Tama\~no de la muestra. 
T=1;
h=.001;
n=1000; # Cantidad de pasos de la caminata aleatoria
MaxS=numeric(N);
MaxB=numeric(N);
for(i in 1:N){
 MaxS[i]=max(cumsum(2*(runif(n)<.5)-1 )/sqrt(n)) ; # S_n donde S es una CASS
 MaxB[i]=max(cumsum(rnorm(ceiling(T/h),0,sqrt(h))));
}
plot(sort(MaxS),(1:N)/N,type="l") # graficamos la funcion de distribucion empirica en S
lines(sort(MaxB),(1:N)/N,type="l",col="blue")

# Fraccion de tiempo en que son positivas las trayectorias


N=10000 # Tama\~no de la muestra. 
T=1;
h=.001;
n=1000; # Cantidad de pasos de la caminata aleatoria
PosS=numeric(N);
PosB=numeric(N);
for(i in 1:N){
 PosS[i]=sum(cumsum(2*(runif(n)<.5)-1 ) >0 ) ; # S_n donde S es una CASS
 PosB[i]=sum(cumsum(rnorm(ceiling(T/h),0,sqrt(h)))>0);
}
plot(sort(PosS),(1:N)/N,type="l") # graficamos la funcion de distribucion empirica en S
lines(sort(PosB),(1:N)/N,type="l",col="blue")

# Esqueleto de orden h del Modelo de Black-Scholes

T=10;
h=.001;
n=ceiling(T/h);
sigma=1;
mu=1;
S=numeric(1+n);
S[1]=.5;
for (i in 1:n){
S[i+1]=S[i]+mu*S[i]*h+sigma*S[i]*rnorm(1,0,sqrt(h));
}
plot(S,type="l")