Curso avanzado de Probabilidad: Cálculo Estocástico

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2014-I

Horario: Lunes, miércoles y viernes 11h30-13h, Aula Inteligente del Edificio Anexo (primer piso), Instituto de Matemáticas

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Movimiento browniano
  2. Martingalas continuas
  3. Integración estocástica respecto de martingalas continuas
  4. Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas

Liga al temario.

Prerequisitos:

  1. Probabilidad I a nivel posgrado
  2. Temas selectos de Procesos Estocásticos I
    1. Martingalas en general, particularmente
      1. Teorema de muestreo opcional
      2. Martingalas e integrabilidad uniforme
      3. Desigualdades de cruces, maximal y Lp de Doob
      4. Teorema de regularización de martingalas
    2. Movimiento Browniano

La evaluación se realizará a partir tareas examen y exposiciones.

Repositorio de notas y tareas: 2014-I

Bibliografía

  • Introduction to stochastic integration, K.L. Chung y R.J. Williams, Birkhäuser, 1990
  • Differential equations determining a Markov process, K. Itô, en sus Selected Papers editado por Stroock y Varadhan, Springer, 1987
  • Brownian motion and stochastic calculus,I. Karatzas y S.E. Shreve, Springer-Verlag, 1991
  • Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
  • Diffusions, Markov processes, and martingales (Vol. 2), L. C. G. Rogers y D. Williams, Cambridge University Press, 2000
  • Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994

    • Bitácora

    Capítulo 1, Preliminares

    5 de Agosto
    p-variación de una función
    Funciones de variación acotada
    Descomposición de Jordan y la integral de Lebesgue-Stieltjes asociada
    Límites de sumas tipo Riemann-Stieltjes
    7 de Agosto
    Asociatividad de la integral de Lebesgue-Stieltjes
    Fórmula de integración por partes
    Regla de la cadena
    La inversa cad de una funcion no-decreciente y cad
    La fórmula de cambio de variable
    9 de Agosto
    Espacios de Hilbert
    Proyecciones ortogonales
    El teorema de representación de Riesz
    Existencia de la esperanza condicional
    12 de Agosto
    Filtraciones, continuidad por la derecha, completitud, hipótesis habituales
    Procesos adaptados, medibles y progresivamente medibles
    Carácter progresivamente medible de procesos adaptados y continuos por la derecha
    Tiempos aleatorios, tiempos de paro y tiempos de arribo.
    14 de Agosto
    Martingalas a tiempo continuo
    Teorema de regularizació de martingalas
    Teorema de muestreo opcional para martingalas cad

    Capítulo 2, La integral estocástica browniana

    16 de Agosto
    Desigualdades de Doob para martingalas cad
    Movimiento browniano: definición
    Existencia de la variación cuadrática
    19 de Agosto
    Existencia de la integral estocástica definida respecto del movimiento browniano para procesos continuos y adaptados
    Propiedades básicas de la integral, continuidad respecto del integrando
    La integral indefinida: existencia de una versión con trayectorias continuas
    21 de Agosto
    La integral estocástica con integrando acotado es una martingala continua
    La fórmula de Ito
    23 de Agosto
    El teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales estocásticas bajo condiciones de Lipschitz:
    El lema de Gronwall
    Aproximaciones sucesivas y el caso determinista
    Unicidad en el caso aleatorio (falta existencia)
    Recordatorio: no hay clase el 26, 28 y 30 de Agosto
    2 de Septiembre
    Existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas bajo condiciones de Lipschitz
    Propiedad de Markov de las soluciones

    Capítulo 3, La integral estocástica respecto de semimartingalas continuas

    4 de Septiembre
    Las martingalas continuas de variación acotada son constantes
    Variación cuadrática: Definición, teorema de existencia y unicidad, prueba de unicidad y mayor parte de la prueba de existencia
    6 de Septiembre
    Prueba de existencia de la variación cuadrática para martingalas continuas y acotadas
    Localizacion y martingalas locales continuas
    Variación cuadrática de martingalas locales continuas
    9 de Septiembre
    Semimartingalas continuas y su covariación
    El espacio de Hilbert de las martingalas acotadas en L_2
    El espacio L_2(M)
    11 de Septiembre
    Las desigualdades de Kunita-Watanabe
    Construcción de la integral estocástica mediante el teorema de representación de Riesz
    13 de Septiembre
    Participamos en el Seminario Interinstitucional de Probabilidad 2013
    18 de Septiembre
    La integral estocástica elemental
    El espacio L_2^loc de una martingala local continua
    Construcción de la integral estocástica de respecto de martingalas locales continuas
    20 de Septiembre
    La integral estocástica respecto de semimartingalas continuas
    Teorema de convergencia dominada para la integral estocástica
    La fórmula de integración por partes
    23 de Septiembre
    Completación usual de la filtración browniana y las condiciones habituales
    Demostración de la fórmula de Ito en base a la fórmula de integración por partes
    La exponencial estocástica

    Capítulo 4, Aplicaciones de la integral estocástica

    27 de Septiembre
    La exponencial estocástica II
    El teorema de caracterización de Lévy
    Caracterización de procesos de Lévy con trayectorias continuas
    30 de Octubre
    Cambios de tiempo aleatorios
    Continuidad de un proceso respecto de un cambio de tiempo
    Transformación de martingalas locales continuas e integrales estocásticas mediante cambios de tiempo
    El teorema de Dambis-Dubins-Schwarz
    2 de Octubre
    Teorema de Knight
    4 de Octubre
    La norma del movimiento browniano en dimensión d
    Funciones de escala y el problema de salida con dos barreras
    Recurrencia, polaridad y recurrencia
    7 de Octubre
    La ecuación diferencial estocástica asociada al cuadrado del proceso de Bessel
    Existencia y unicidad débil
    Convergencia del método de Euler para la ODE aleatoria asociada
    9 de Octubre
    Unicidad para la ODE aleatoria asociada a los cuadrados de procesos de Bessel
    Propiedad de aditividad y divisibilidad infinita de los cuadrados de procesos de Bessel
    11 de Octubre
    Existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales estocásticas en el sentido débil
    Existencia fuerte y unicidad trayectorial
    Criterio de unicidad trayectorial de Yamada-Watanabe
    Criterio de comparación
    14 de Octubre
    El movimiento browniano complejo
    Prueba del teorema de Liouville (y del teorema fundamental del álgebra) mediante el movimiento browniano
    16 de Octubre
    Movimiento browniano y funciones armónicas
    Solución probabilística de la ecuación de Poisson
    18 de Octubre
    El movimiento browniano y la ecuación de calor
    La fórmula de Feynman-Kac
    La ley arcoseno de Paul Lévy
    21 de Octubre
    Continuidad absoluta y continuidad absoluta local
    El proceso de derivadas de Radon-Nikodym
    Martingalas locales continuas positivas como exponenciales estoásticas
    El teorema de Girsanov
    23 de Octubre
    Criterios de Novikov y Kazamaki para que la exponencial estocástica de una martingala local continua sea una martingala.
    25 de Octubre
    El generador infinitesimal de una difusión
    Funciones propias del generador y tiempos de arribo

    Capítulo 5, Integración estocástica respecto de semimartingalas cadlag

    28 de Octubre
    La sigma-álgebra previsible
    Integral de procesos previsibles respecto de procesos de Poisson compensados
    Criterio de independencia de procesos de Poisson en términos de saltos comunes
    6 de Noviembre
    Caracterización de procesos de Lévy con trayectorias continuas
    Existencia de momentos exponenciales para procesos de Lévy con saltos acotados
    La medida de Poisson aleatoria de los saltos de un proceso de Lévy: la medida de Lévy asociada
    Enunciado de la descomposición de Lévy-Itô
    11 de Noviembre
    Recordatorio de medidas de Poisson aleatorias
    El fenómeno de compensación
    Prueba de la descomposición de Lévy-Itô
    13 de Noviembre
    La descomposición de Doob-Meyer
    La prueba de Beiglböck, Schachermayer y Veliyev
    El lema de Komlos
    15 de Noviembre
    Martingalas cadlag acotadas en L_2
    La variación cuadrática predecible
    La covariación predecible y sus propiedades
    26 de Noviembre
    Tiempos de paro predecibles y su anunciabilidad
    Cotas para el supremo de una martingala cad acotada en L2 mediante su variación cuadrática previsible
    La integral estocástica para martingalas acotadas en L2 y sus propiedades
    27 de Noviembre
    Martingalas locales y descomposición de Doléns-Dade y Meyer
    La integral estocástica respecto de martingalas locales cad
    La covariación cuadrática de dos martingalas locales cad
    La fórmula de Itô