Procesos Estocasticos I

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2015-II

Horario: Lu,Mie,Vie 12h-13h30, Salón de Seminarios Graciela Salicrup, Instituto de Matemáticas

Profesores: Ramsés Mena Chávez y Gerónimo Uribe Bravo

Descripción del curso

Listado de temas:

1. Martingalas
2. Procesos de Markov
3. Procesos de Poisson
4. Procesos gaussianos y movimiento brownaino

Prerequisitos: Probabilidad I a nivel posgrado. (Especialmente esperanza condicional.)

Repositorio de Notas y Tareas: 2013-II

Liga a la lista oficial de alumnos inscritos.

Bibliografía

Bibliografía general

1. Probability: Theory and examples, R. Durrett, Cambridge University Press, 2010.
2. Probability Essentials, J. Jacod y P. Protter, Springer, 2003
3. Foundations of Modern Probability, O. Kallenberg, Springer, 2002
4. Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
5. Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994
6. Probability and measure, P. Billingsley, Wiley, 1995

Martingalas

1. Martingale limit theory and its application , P. Hall and C. C. Heyde, Academic Press Inc., 1980
2. Discrete parameter martingales , J. Neveu, North-Holland Publishing Co., 1975
3. Probability with martingales , D. Williams, Cambridge University Press, 1991

Cadenas y Procesos de Markov

1. Markov chains, J. Norris, Cambridge University Press, 1998
2. Markov chains and stochastic stability, S Meyn and R. Tweedie, Cambridge University Press, 2009

Movimiento Browniano

1. Brownian Motion, P. Mörters and Y. Peres, Cambridge University Press, 2010

Bitácora

Capítulo 1, Martingalas

26 de Enero

1. Información general del curso
2. Introducción a la problemática que estudiaremos
3. El problema de la ruina
4. Procesos de contéo y el proceso de Poisson
5. Un primer modelo de teoría de colas
6. El movimiento browniano

28 de Enero

1. Continuación de la introducción al curso
2. Movimiento browniano
3. Procesos autoregresivos
4. Urnas de Pólya
5. Procesos de Galton-Watson y sus límites de escala
6. Modelo de Wright-Fisher
7. Recordatorio sobre esperanza condicional

30 de Enero

1. Propiedades de la esperenza condicional
2. Probabilidad condicional regular
3. Introducción a martingalas

4 de Febrero

1. Martingalas y funciones convexas
2. Ejemplos de martingalas
3. Tiempos de paro
4. El teorema de muestreo opcional
5. La transformada de martingala

6 de Febrero

1. El problema de la ruina y el teorema de muestreo opcional
2. La desigualdad de cruces hacia arriba de Doob
3. El teorema de convergencia de martingalas

9 de Febrero

1. Aplicaciones del teorema de convergencia casi segura de martingalas:
2. Martingalas y procesos de ramificación
3. Martingalas y funciones armónicas

11 de Febrero

1. Desigualdad maximal de Doob
2. Desigualdad \(L_p\) de Doob con \(p>1\)
3. Teorema de convergencia de martingalas en \(L_p\)
4. Aplicaciones
   1. Teorema de convergencia hacia arriba de Lévy con \(p>1\)
   2. Convergencia en \(L_2\) de series aleatorias
   3. Ley fuerte de los grandes números con segundo momento finito
5. Tarea 1:

   1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
   9	8	1	3	11	1	11	2	4	6	4	11	11	4	1	7	4	7	5	9	5	11	9
   7	5	5	4	3	2	3	4	2	11	8	4	10	6	10	8	6	6	3	5	11	9	7
   11	1	9	1	9	8	7	1	7	3	7	6	4	3	8	9	9	8	7	7	7	5	4

13 de Febrero

1. Integrabilidad uniforme
2. Caracterización de martingalas cerradas
3. Muestreo opcional para martingalas uniformemente integrables
4. Teorema de convergencia hacia arriba de Lévy
5. Ley 0-1 de Kolmogorov

16 de Febrero

1. Martingalas reversas: teorema de convergencia de Lévy
2. Ley fuerte de los grandes números via martingalas
3. Urnas de Pólya via intercambiabilidad y martingalas reversas

18 de Febrero

1. Preliminares y enunciado del teorema de regularización de martingalas
2. Plática del Dr. Henrik Marsden, Modelling using stochastic differential equations

20 de Febrero

1. Teorema de regularización de martingalas
2. Preliminares y enunciado del teorema de existencia de Kolmogorov

23 de Febrero

1. Tarea 2. A entregar el viernes 27 de febrero.

   1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
   2	9	1	2	2	2	8	5	3	8	3	10	4	2	6	6	8	1	8	1	5	8	10
   3	1	7	7	1	3	9	10	9	3	6	1	2	7	5	2	10	8	1	10	6	10	5

2. Prueba del teorema de consistencia Kolmogorov a tiempo discreto
3. El punto de vista del espacio canónico
4. El teorema de consistencia de Kolmogorov a tiempo continuo

25 de Febrero

1. Construcción, en ley, del proceso de Poisson y del movimiento browniano
2. Regularización del proceso de Poisson
3. Criterio de continuidad de Kolmogorov
4. Regularización del movimiento browniano

Capítulo 3, Movimiento browniano

20 de Abril

1. Motivación y definición del movimiento browniano
2. Vectores gaussianos
3. Teorema de existencia del movimiento browniano
4. Comienzo de la prueba de Lévy de existencia del movimiento browniano

22 de Abril

1. Fin de la prueba de Lévy de existencia del movimiento browniano
2. Martingalas asociadas al movimiento browniano
3. Propiedades de invariancia del movimiento browniano: simetría, autosimilitud, homogeneidad temporal, inversión temporal, reversión temporal, invariancia ortogonal

24 de Abril

1. El espacio canónico de funciones continuas
2. Propiedades de Markov y de Markov fuerte
3. Prueba del principio de invariancia de Donsker asumiendo el teorema de encaje de Skorohod

27 de Abril

1. Teorema de encaje de Skorohod
2. El proceso de tiempos de pasaje browniano

29 de Abril

1. El principio de reflexión
2. El máximo acumulativo del movimiento browniano
3. Ley arcoseno para el último cero antes de 1
4. El puente browniano
5. Tarea 4:

   1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
   2	1	8	7	3	8	4	12	10	7	11	6	9	6	4	3	5	12	8	2	5	12	9
   9	8	4	1	1	9	10	8	1	4	5	2	7	5	5	8	3	2	7	12	2	2	1

19 de Mayo

1. Medidas aleatorias de Poisson:
2. Motivación
3. Existencia para intensidades finitas