Curso avanzado de Probabilidad: Cálculo Estocástico

Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM, Semestre 2016-I

Horario: Lunes, miércoles y viernes 12h-13h30, Salón de Seminarios I, Instituto de Matemáticas

Profesor: Gerónimo Uribe Bravo (Cubículo 311, Instituto de Matemáticas, e-mail: geronimo@matem.unam.mx)

Descripción del curso

Listado de temas:

  1. Movimiento browniano
  2. Martingalas continuas
  3. Integración estocástica respecto de martingalas continuas
  4. Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas
  5. Integración estocástica respecto de semimartingalas

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Prerequisitos:

  1. Probabilidad I a nivel posgrado
  2. Temas selectos de Procesos Estocásticos I
    1. Martingalas en general, particularmente
      1. Teorema de muestreo opcional
      2. Martingalas e integrabilidad uniforme
      3. Desigualdades de cruces, maximal y Lp de Doob
      4. Teorema de regularización de martingalas
    2. Movimiento Browniano

Bibliografía

  • Introduction to stochastic integration, K.L. Chung y R.J. Williams, Birkhäuser, 1990
  • Differential equations determining a Markov process, K. Itô, en sus Selected Papers editado por Stroock y Varadhan, Springer, 1987
  • Brownian motion and stochastic calculus,I. Karatzas y S.E. Shreve, Springer-Verlag, 1991
  • Continuous Martingales and Brownian Motion , D. Revuz y M. Yor, Springer, 1999
  • Diffusions, Markov processes, and martingales (Vol. 2), L. C. G. Rogers y D. Williams, Cambridge University Press, 2000
  • Procesos Estocásticos , C. Tudor, Sociedad Matemática Mexicana, 1994

    • Bitácora

    Capítulo 1, Preliminares

    10 de Agosto
    Motivación: construcción de procesos de difusión a partir del movimiento browniano
    Funciones de variación acotada
    Descomposición de Jordan y la integral de Lebesgue-Stieltjes asociada
    Límites de sumas tipo Riemann-Stieltjes
    12 de Agosto
    p-variación de una función
    Asociatividad de la integral de Lebesgue-Stieltjes
    Fórmula de integración por partes
    Regla de la cadena
    14 de Agosto
    La fórmula de cambio de variable
    Filtraciones, continuidad por la derecha, completitud, hipótesis habituales
    Procesos adaptados, medibles y progresivamente medibles
    Carácter progresivamente medible de procesos adaptados y continuos por la derecha
    17 de Agosto
    Tiempos aleatorios, tiempos de paro y tiempos de arribo.
    Martingalas a tiempo continuo
    Martingalas cad
    19 de Agosto
    Teorema de regularizacion de martingalas

    Capítulo 2, La integral estocástica browniana

    19 de Agosto
    Variación cuadrática del movimiento browniano
    Ejemplo de una filtración que satisface las condiciones habituales
    21 de Agosto
    La integral estocástica respecto del movimiento browniano:
    24 de Agosto
    La fórmula de Ito para el movimiento browniano
    26 de Agosto
    El teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales estocásticas bajo condiciones de Lipschitz:
    El lema de Gronwall
    Aproximaciones sucesivas y el caso determinista
    Unicidad en el caso aleatorio (falta existencia)
    28 de Agosto
    Existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas bajo condiciones de Lipschitz
    Propiedad de Markov de las soluciones

    Capítulo 3, La integral estocástica respecto de semimartingalas continuas

    2 de Septiembre
    Las martingalas continuas de variación acotada son constantes
    Variación cuadrática: Definición y teorema de existencia y unicidad
    4 de Septiembre
    Evaluación
    7 de Septiembre
    Prueba de existencia de la variación cuadrática para martingalas continuas y acotadas
    Localizacion y martingalas locales continuas
    Martingalas locales continuas: variación cuadrática y covariación
    9 de Septiembre
    El espacio de Hilbert de las martingalas acotadas en L_2
    El espacio L_2(M)
    Las desigualdades de Kunita-Watanabe
    La integral estocástica elemental.
    11 de Septiembre
    Construcción de la integral en L_2(M) mediante aproximación
    Caracterización de la integral mediante covariaciones
    14 de Septiembre
    La fórmula de integración por partes
    La fórmula de Ito

    Capítulo 4, Aplicaciones a la integral estocástica respecto de semimartingalas continuas

    18 de Septiembre
    La exponencial estocástica
    Polaridad del movimiento browniano en dimensiones mayores a 1
    21 de Septiembre
    Teorema de caracterización de Lévy
    Martingalas y cambios de tiempo (comienzo)
    23 de Septiembre
    Martingalas y cambios de tiempo: el teorema de Dambis-Dubins-Schwarz y de Kunita-Watanabe
    Enunciado del teorema de Knight
    El movimiento browniano complejo
    25 de Septiembre
    Invariancia conforme del movimiento browniano
    Teorema de Liouville
    Movimiento browniano y funciones armónicas
    28 de Septiembre
    El proceso de Cox-Ingersoll-Ross:
    Unicidad trayectorial
    30 de Septiembre
    Existencia débil del proceso CIR mediante cambios de tiempo, parte 1
    2 de Octubre
    Evaluaciones
    5 de Octubre
    Existencia débil del proceso CIR mediante cambios de tiempo, parte 2
    7 de Octubre
    Existencia débil del proceso CIR mediante cambios de tiempo, parte 3
    9 de Octubre
    Procesos CIR y relación con procesos de Galton-Watson con inmigración
    12 de Octubre
    La fórmula de Feynman-Kac
    La ley arcoseno de P. Lévy
    14 de Octubre
    Teorema de Cameron-Martin
    Aplicaciones
    Enunciado del teorema de Girsanov
    16 de Octubre
    Demostarción del teorema de Girsanov
    19 de Octubre
    Criterios de Novikov y Kazamaki
    Enunciado y parte de la prueba de las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy
    21 de Octubre
    Conclusión de la prueba de la Desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy
    Aplicación a generadores infinitesimales
    Demostración del Teorema de Knight
    23 de Octubre
    No tuvimos clase

    Capítulo 5, Introducción al cálculo estocástico discontinuo

    26 de Octubre
    Ejemplo con el proceso de Poisson
    La sigma-álgebra previsible y los procesos elementales
    El proceso de Poisson d-dimensional
    28 de Octubre
    Caracterización del proceso de Poisson d-dimensional mediante simultaneidad de saltos
    Medidas aleatorias y medidas aleatorias de Poisson
    Subordinadores y densidad de saltos
    30 de Octubre
    Tercera evaluación
    4 de Noviembre
    Caracterización de procesos de Lévy con trayectorias continuas
    Existencia de momentos exponenciales para procesos de Lévy con saltos acotados
    La medida de Poisson aleatoria de los saltos de un proceso de Lévy: la medida de Lévy asociada
    Enunciado de la descomposición de Lévy-Itô
    6 de Noviembre
    Recordatorio de medidas de Poisson aleatorias
    El fenómeno de compensación
    Prueba de la descomposición de Lévy-Itô y Fórmula de Lévy-Khintchine
    9 de Noviembre
    Procesos clase D y clase DL
    La descomposición de Doob-Meyer
    La prueba de Beiglböck, Schachermayer y Veliyev (Enunciado y comienzo de prueba)
    El lema de Komlos
    11 de Noviembre
    Continuación de la demostración de la descomposición de Doob-Meyer
    Introducción a Procesos predecibles y anunciables
    13 de Noviembre
    Clase extraordinaria de Adrián González-Casanova sobre el Modelo de Wright-Fisher
    23 de Noviembre
    Síntesis de la prueba de Doob-Meyer
    Tiempos de paro predecibles y su anunciabilidad
    La variación cuadrática predecible
    La covariación predecible y sus propiedades
    25 de Noviembre
    Ejemplos de tiempos predecibles y propiedades
    Cotas para el supremo de una martingala cád acotada en L2 mediante su variación cuadrática previsible
    La integral estocástica elemental
    26 de Noviembre
    Integral estocástica para martingalas acotadas en L2 y sus propiedades
    Martingalas locales y descomposición de Doléns-Dade y Meyer
    30 de Noviembre
    La integral estocástica respecto de martingalas locales càd
    La covariación cuadrática de dos martingalas locales càd
    4 de Diciembre
    Fórmula de Integración por Partes
    Fórmula de Itô