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\title[Tarea 3]{Tarea 3\\ Procesos Estoc\'asticos, Semestre 2012-II }
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%Comandos

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%Ambientes (Environments)

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\begin{document}
\maketitle
\begin{ejer}[Ej. 1.3.3 p. 18 de \cite{MR1600720}]
Un juego de serpientes y escaleras se juega en el siguiente tablero
\begin{center}
\includegraphics[width=.25\textheight]{SnakesAndLadders.pdf}
\end{center}
En cada turno un jugador lanza una moneda justa. Si cae \'aguila avanza dos cuadros y si no, s\'olo uno. Si el jugador cae al pie de una escalera, sube por ella, mientras que si cae donda hay una cabeza de serpiente, se resbala hasta la cola. 
\begin{enumerate}
\item ?`Cu\'antos turnos se requiere en promedio para terminar el juego?
\item ?`Cu\'al es la probabilidad de que al encontrarse en el cuadro 5 un jugador termine el juego sin llegar al cuadro 1?
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}[Ej. 1.4.1 de \cite{MR1600720}]
Sean $\xi_1,\xi_2,\ldots$ variables aleatorias independientes tales que\begin{esn}
\proba{\xi=2}=1/2\quad\text{y}\quad \proba{\xi=-1}=1/2, 
\end{esn}$X_0=0$ y\begin{esn}
X_{n+1}=X_n+\xi_{n+1}.
\end{esn}Defina adem\'as\begin{esn}
H_0=\min\set{n\geq 0:X_n=0}
\end{esn}con la convenci\'on usual $\min\emptyset=\infty$. Pruebe que la funci\'on generadora $\phi$ de $H_0$ dada por\begin{esn}
\imf{\phi}{s}=\esp{s^{H_0}}
\end{esn}satisface\begin{esn}
s\imf{\phi}{s}^3-2\imf{\phi}{s}+s=0. 
\end{esn}
\end{ejer}
\begin{ejer}
Sea $\paren{\p_x}_{x\in E}$ una familia markoviana asociada a la matriz de transici\'on $P$. Defina\begin{esn}
f_{i,j}^m=\imf{\p_i}{X\text{ visita a }j\text{ por primera vez al instante }m}.
\end{esn}Pruebe la descomposici\'on de primer pasaje\begin{esn}
P_{i,j}^n=\sum_{m=0}^n f_{i,j}^m P_{j,j}^{n-m}.
\end{esn}Sugerencia: intente interpretar probabil\'isticamente la igualdad.
\end{ejer}
\begin{ejer}

Una gr\'afica es una pareja $\paren{V,E}$ que consta de un conjunto $V$ (que supondremos finito), llamado conjunto de v\'ertices, y un conjunto $E$ que consta de subconjuntos de dos elementos de $V$, a los cuales llamamos aristas. Es usual imaginarnos la gr\'afica como una colecci\'on de puntos (etiquetados por los elementos de $V$) unidos por aristas como en el siguiente dibujo.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=.4\textwidth]{grafica.pdf}
\caption{Visualizaci\'on de la gr\'afica $\paren{V,E}$ con $V=\set{1,\ldots, 6}$ y $E=\set{\set{1,3},\set{2,3},\set{3,4},\set{4,5},\set{4,6}}$}
\label{EjemploDeGrafica}
\end{figure}Una gr\'afica es conexa si para todos $u,v\in V$ existen $v_1,\ldots, v_{n}\in V$ tales que\begin{esn}
\set{v,v_1},\set{v_1,v_2},\ldots, \set{v_{n-1},v_n},\set{v_n,v}\in E\end{esn}

Una caminata aleatoria simple en la gr\'afica es una cadena de Markov en la que a cada instante se mueve de un v\'ertice a otro escogiendo las aristas a su disposici\'on con la misma probabilidad. 

\begin{enumerate}
\item Pruebe que una caminata aleatoria sobre una gr\'afica es irreducible si y s\'olo si la gr\'afica es conexa. En este caso, diga si la distribuci\'on estacionaria existe y es \'unica.
\item Escriba la matriz de transici\'on, clasifique los estados y  encuentre su periodo en el ejemplo de la Figura \ref{EjemploDeGrafica}. 
\item Sea $\pi$ la medida de probabilidad que asigna a $v$ la cantidad de aristas que emanan de $v$ sobre la cantidad total de aristas. Pruebe que se satisface la condici\'on de balance detallado
%$\pi$ hace reversible a la caminata aleatoria. 
\begin{esn}
\pi_u P_{u,v}=\pi_v P_{v,u}
\end{esn}y que por lo tanto $\pi$ es invariante.
\item D\'e un ejemplo de gr\'afica en el que $P_{i,j}^n\not\to \pi_j$ conforme $n\to\infty$ y uno en el que s\'i. 
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}
En los \href{http://www.posgradomatematicas.unam.mx/pagina/es/29/general-de-probabilidad}{ex\'amenes generales} de probabilidad que se han aplicado del 2006 al 2012, busque los problemas relativos a cadenas de Markov. Escoja uno diferente al de sus compa\~neros y resu\'elvalo. 
\end{ejer}
\bibliography{GenBib}
\bibliographystyle{amsalpha}
\end{document}